7.2 Методы вычисления или непосредственного определения значений интегральных характеристик температур

В большинстве случаев значения пространственных и/или временных интегральных характеристик приходится вычислять по непосредственно измеренным в ходе эксперимента значениям температур и тепловых потоков.

Иногда удается так организовать процесс теплофизического эксперимента, что значения пространственной интегральной характеристики может быть измерено напрямую по сигналу соответствующего первичного измерительного преобразователя (датчика).

7.2.1 Методы приближенного вычисления пространственных интегральных характеристик

Вычисление ПИХ вида (7.7) эквивалентно задаче приближенного вычисления интеграла [27 – 30]

(7.8)

где и коэффициенты и абсциссы квадратурной формулы (7.8), выбираемые в зависимости от вида весовой функции и от применяемого правила численного интегрирования. Отметим, что верхний предел интегрирования в формуле (7.8) может быть в пределах

Можно рекомендовать следующий порядок выбора числа узлов п квадратурной формулы (7.8). Используя априорную информацию, задаем значения теплофизических свойств, геометрию образца, начальные и граничные условия, т.е. выбираем тепловой режим предполагаемого эксперимента. С учетом этого теплового режима в результате решения прямой краевой задачи теплопроводности находим функцию

,

определяющую распределение температуры по пространственной координате в момент времени . По заданной погрешности определения ПИХ находим число узлов квадратурной формулы (7.8), обеспечивающее требующуюся точность вычислений.

На практике интегральную характеристику (7.7) чаще всего вычисляют по квадратурной формуле

. (7.8а)

Абсциссы и коэффициенты в формуле (7.8а) выбирают в зависимости от ограничений, накладываемых конструкцией установки и режимом проведения эксперимента:

1) если возможно измерение температуры в нескольких произвольных точках по толщине исследуемого образца, то следует применять правила интегрирования, имеющие наивысшую степень точности [29, с. 34]; в справочнике [29] приведены таблицы, позволяющие выбрать значения абсцисс и коэффициентов формулы (7.8а);

2) если же измерения температуры производятся в нескольких равностоящих точках по толщине исследуемого образца (например, когда образец набирается из нескольких пластин одинаковой толщины, а между этими пластинами размещают термопары или термометры сопротивления), то удобно пользоваться правилом Ньютона-Котеса [29, с. 15]:

(7.8b)

где шаг между абсциссами ( ).

Численные расчеты показали, что относительные погрешности расчетов ПИХ зависят от характера и интенсивности процесса теплопереноса и, при применении правила Ньютона-Котеса (7.8b), в абсолютном большинстве случаев не превышают:

1,5 % при ;

1 % при ;

0,8 % при .

Наибольшая погрешность определения пространственной интегральной характеристики, как правило, соответствует [27] промежуткам времени, когда наблюдается резкое изменение градиента температуры по толщине исследуемого образца. В таких случаях для увеличения точности вычисления рекомендуется осуществлять дополнительные измерения температуры в одной или двух точках (j = 1, 2) в той зоне образца, где наблюдается наибольшая величина температурного градиента [27].

Методика вычисления производной по времени

зависит от способа регистрации пространственной интегральной характеристики и может быть осуществлена одним из известных методов приближенного дифференцирования функций [27].