Задача 5. Метод множителей Лагранжа

Пусть функция полезности имеет вид U= 1,26x₁^0,6 x₂^0,48. Даны бюджет B=330 и цены P₁=20 и P₂=28. Составить математическую модель и найти оптимальный набор благ и его полезность с помощью метода множителей Лагранжа.

Запишем функцию Лагранжа:

F=U(x₁, x₂)+λ(20 x₁+28 x₂);

Составим из частных производных по x₁, x₂,λ систему уравнений.

∂F/∂x₁=0.756 x₂^0.48 x₁^-0.4+20λ=0

∂F/∂x₂=0.6048 x₁^0.6 x₂^-0.52+28λ=0

∂F/∂λ=20 x₁+28 x₂-330=0

Разрешив ее, получаем

x₁=55/6

x₂=110/21

Или, в целых,

x₁=9

x₂=5

Ответ: Наибольшей полезностью будет обладать набор товаров: 9 штук по цене P₁=20 и 5 штук по цене P₂=28.