- •Расчетно-графическая работа
- •1. Транспортная задача. Метод Северо-Западного угла
- •Задача 2. Транспортная задача. Метод Фогеля.
- •Задача 3. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента.
- •Задача 4. Графическое решение задачи линейного програмирования.
- •Задача 4. Симплекс-метод
- •Задача 5. Метод множителей Лагранжа
Задача 3. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента.
Условия как в задачах 1 и 2.
Запишем задачу в виде таблицы издержек.
|
Потребители |
Запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
9 |
10 |
6 |
5 |
150 |
A2 |
12 |
8 |
6 |
5 |
13 |
220 |
A3 |
6 |
2 |
8 |
2 |
4 |
180 |
Потребность |
110 |
180 |
30 |
180 |
50 |
|
Выберем ячейку с минимальными издержками (помечена цветом выше) на перевозку и загрузим ее (так как их две в одной строке, выберем ту, для которой издержки на перевозку к этому потребителю в других строках больше, чем у другого столбца).
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
150 |
A2 |
|
|
|
|
|
220 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
30 |
180 |
50 |
|
A3 исчерпал запасы, B2 удовлетворил потребности, строку 3 и столбец 2 не рассматриваем.
|
Потребители |
Остаточные запасы |
|||
Поставщики |
B1 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
10 |
6 |
5 |
150 |
A2 |
12 |
6 |
5 |
13 |
220 |
Остаточная потребность |
110 |
30 |
180 |
50 |
|
Выберем минимальные издержки (минимальный элемент). В данном случае не важно, какой выбирать первым, A1xB5 или A2xB4, так как они в разных строках и столбцах. Загрузим:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
150 |
A2 |
|
|
|
180 |
|
40 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
30 |
0 |
50 |
|
Столбец 4 исключаем из рассмотрения, потребности удовлетворены.
Следующий элемент A1xB5:
|
Потребители |
Запасы |
||
Поставщики |
B1 |
B3 |
B5 |
|
A1 |
7 |
10 |
5 |
150 |
A2 |
12 |
6 |
13 |
40 |
Потребность |
110 |
30 |
50 |
|
Загрузим:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
50 |
100 |
A2 |
|
|
|
180 |
|
40 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
30 |
0 |
0 |
|
Исключим B5 из рассмотрения, найдем следующий минимальный элемент.
|
Потребители |
Запасы |
|
Поставщики |
B1 |
B3 |
|
A1 |
7 |
10 |
100 |
A2 |
12 |
6 |
40 |
Потребность |
110 |
30 |
|
Загрузим:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
50 |
100 |
A2 |
|
|
30 |
180 |
|
10 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Исключим B3 из рассмотрения, найдем следующий минимальный элемент:
|
Потребители |
Запасы |
Поставщики |
B1 |
|
A1 |
7 |
100 |
A2 |
12 |
10 |
Потребность |
110 |
|
Загрузим остаточными запасами из A1:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
|
|
30 |
180 |
|
10 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Исключим A1 из рассмотрения, запасы там кончились, остался один элемент:
|
Потребители |
Запасы |
Поставщики |
B1 |
|
A2 |
12 |
10 |
Потребность |
10 |
|
Загрузим:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
10 |
|
30 |
180 |
|
0 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
Найден опорный план методом наименьшего элемента.
План вырожденный, N=m+n-1=7<>6.
Проверим на оптимальность методом потенциалов, поместив ноль в A2xB2. Цветом отмечены фиксированные издержки.
|
Потребители |
αi |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
7 |
9 |
6 |
5 |
0 |
A2 |
12 |
8 |
6 |
5 |
3 |
5 |
A3 |
0 |
2 |
8 |
3 |
0 |
-1 |
βj |
7 |
3 |
1 |
0 |
5 |
|
Как видно, все значения неотрицательны, значит оптимальный план найден.
Ответ: Издержки: 2510.
|
Потребители |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
A2 |
10 |
|
30 |
180 |
|
A3 |
|
180 |
|
|
|
Вывод: методом наименьшего элемента найден оптимальный план, совпадающий с найденным методом Фогеля. Методом потенциалов проверено, что он является оптимальным.
Итоговый вывод: методы Фогеля и наименьшего элемента следует применять для нахождения опорного плана с целью уменьшения числа итераций в методе потенциалов.
Схема размещения для плана с минимальными издержками не единственна для этой задачи, разные результаты получаются при разных методах. Метод потенциалов находит лишь одно из оптимальных решений, а не все.