- •Расчетно-графическая работа
- •1. Транспортная задача. Метод Северо-Западного угла
- •Задача 2. Транспортная задача. Метод Фогеля.
- •Задача 3. Транспортная задача. Метод наименьшего элемента.
- •Задача 4. Графическое решение задачи линейного програмирования.
- •Задача 4. Симплекс-метод
- •Задача 5. Метод множителей Лагранжа
Задача 2. Транспортная задача. Метод Фогеля.
Метод Фогеля позволяет получить базовый план, но не обязательно оптимальное решение.
Начальные условия аналогичны задаче 1.
Запишем задачу в виде таблицы издержек, дополнив ее столбцом и строкой с разностью между двумя минимальными значениями издержек по столбцу и строке соответсвенно.
|
Потребители |
∆i |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
9 |
10 |
6 |
5 |
1 |
A2 |
12 |
8 |
6 |
5 |
13 |
1 |
A3 |
6 |
2 |
8 |
2 |
4 |
2 |
∆j |
1 |
6 |
2 |
3 |
1 |
|
Максимальная разница в столбце 2, значит есть смысл загрузить ячейку с минимальной cij (min(9,8,2)=2) из этого столбца (A3xB2).
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
|
150 |
A2 |
|
|
|
|
|
220 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
30 |
180 |
50 |
|
Потребность в столбце 2 удовлетворена, запасы в строке 3 истощены, исключаем их из рассмотрения.
Повторим итерацию расчета разницы двух минимальных значений издержек по строкам и столбцам.
|
Потребители |
∆i |
|||
Поставщики |
B1 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
10 |
6 |
5 |
1 |
A2 |
12 |
6 |
5 |
13 |
1 |
∆j |
5 |
4 |
1 |
8 |
|
Максимальная разница в столбце B5, загрузим ячейку A1xB5 (min(5,13,8)) на сколько можем.
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
|
|
|
|
50 |
100 |
A2 |
|
|
|
|
|
220 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
110 |
0 |
30 |
180 |
0 |
|
B5 удовлетворил свои потребности, можем не рассматривать этот столбец.
|
Потребители |
∆i |
||
Поставщики |
B1 |
B3 |
B4 |
|
A1 |
7 |
10 |
6 |
1 |
A2 |
12 |
6 |
5 |
1 |
∆j |
5 |
4 |
1 |
|
Максимум в B1. Загрузим A1xB1. У A1 осталось только 100 единиц, поместим все в ячейку.
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
|
|
|
|
|
220 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
10 |
0 |
30 |
180 |
50 |
|
Исключим из рассмотрения строку A1, так как там кончились свободные запасы.
Рассчитаем разности по строке A2, разности по столбцам не определены:
|
Потребители |
∆i |
||
Поставщики |
B1 |
B3 |
B4 |
|
A2 |
12 |
6 |
5 |
1 |
∆j |
- |
- |
- |
|
Очевидно, мы можем загружать только строку A2, причем делать это с минимумом затрат, то есть загружая с ячеек с минимальными издержками на единицу перевозимого товара.
Для A2xB4, c24 = 5 (min(5,6,12)):
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
|
|
|
180 |
|
40 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
10 |
0 |
30 |
0 |
50 |
|
Далее A2xB3 c23 = 6 (min(6,12)):
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
|
|
30 |
180 |
|
10 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
10 |
0 |
0 |
180 |
50 |
|
И последняя ячейка A2xB1:
|
Потребители |
Остаточные запасы |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
0 |
A2 |
10 |
|
30 |
180 |
|
0 |
A3 |
|
180 |
|
|
|
0 |
Остаточная потребность |
0 |
0 |
0 |
0 |
50 |
|
Найден опорный план по Фогелю.
План вырожденный, так как N=m+n-1=7<>6, где 6 – количество ячеек. Поставим ноль в A2xB2.
Проверим его методом потенциалов на оптимальность (как – см. задачу 1).
|
Потребители |
αi |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
|
A1 |
7 |
7 |
9 |
6 |
5 |
0 |
A2 |
12 |
8 |
6 |
5 |
3 |
5 |
A3 |
0 |
2 |
8 |
3 |
0 |
-1 |
Потребность |
110 |
180 |
30 |
180 |
50 |
|
βj |
7 |
3 |
1 |
0 |
5 |
|
Цветом выделены фиксированные издержки в загруженных ячейках.
Как видно, план оптимален.
Ответ: Издержки – 2510.
|
Потребители |
||||
Поставщики |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
A1 |
100 |
|
|
|
50 |
A2 |
10 |
|
30 |
180 |
|
A3 |
|
180 |
|
|
|
Вывод: методом Фогеля получен опорный план для транспортной задачи. Он оказался оптимальным и отличным от плана, найденного методом потенциалов. Потребовалась всего одна итерация для нахождения оптимального плана, что в данном случае оказалось эффективнее метода потенциалов.