Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра автоматизированных систем управления

Расчетно-графическая работа

по дисциплине

«Методы оптимизации»

Вариант №20

Выполнил: ст. гр. ПИ-204з Еникеев Р.Ф.

Проверила: асс.каф.АСУ Кондратьева О.В.

Уфа 2013

1. Транспортная задача. Метод Северо-Западного угла

Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах соответственно равных 150, 220, 180 единиц. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 180, 30, 180, 50 единиц. Затраты связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей С = .

Составить план прикрепления потребителей к поставщикам, решить задачу тремя методами, сделать вывод о том какой из полученных планов является оптимальным.

Решение:

Представим задачу в табличной форме, где в ячейках на пересечении строк и столбцов записаны затраты на доставку единицы продукции от поставщика Ai потребителю Bi.

	Потребители					Запасы
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9	10	6	5	150
A2	12	8	6	5	13	220
A3	6	2	8	2	4	180
Потребность	110	180	30	180	50

Начнем отгружать потребителям, начиная с северо-западного угла таблицы (левый верхний).

На пересечении строк и столбцов записано количество отгружаемого от поставщика Ai потребителю Bi количество единиц товара:

Первый шаг, отгрузим в северо-западный угол min(B1,A1) = min(110, 150) = 110 единиц:

	Потребители
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110
A2
A3
Потребность	110	180	30	180	50

Продолжим двигаться «по диагонали» в правый нижний угол, отгружая минимум (возможное или необходимое) из остатка на складе у поставщика в строке и запроса потребителя в столбце.

Второй шаг:

	Потребители
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110	40
A2
A3
Потребность	110	180	30	180	50

Потребителю B1 необходимо 180 единиц товара, но в наличии у поставщика A1 осталось только 40 единиц (110 мы отгрузили на первом шаге потребителю B1).

У первого поставщика закончился товар, поэтому переходим на вторую строчку, к поставщику A2. Первый потребитель B1 полностью удовлетворил свои запросы, потребителю B2 необходимо еще всего 140 единиц (40 он получил от A1).

На третьем шаге таблица выглядит следующим образом:

	Потребители
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110	40
A2		140
A3
Потребность	110	180	30	180	50

Продолжая движение по таблице по указанному алгоритму, в итоге получем опорное решение. На пересечении строки и столбца стоит число единиц товара, отгружаемых от поставщика из строки потребителю из столбца.

	Потребители
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110	40
A2		140	30	50
A3				130	50
Потребность	110	180	30	180	50

Проверим на вырожденность – N=m+n-1=3+5-1=7 – равно числу загруженных ячеек. План не вырожден, нули проставлять не нужно.

Рассчитаем потенциалы каждой ячейки, то есть число, характеризующее снижение или повышение издержек при загрузке товара в другую ячейку. Отрицательное число в ячейке покажет, что мы можем снизить издержки.

Для расчета потенциалов примем за потенциал первой строки 0. Запишем таблицу в виде таблицы издержек, фиксируя потенциальные издержки, которые мы готовы понести в текущем опорном плане, и добавив строку и столбец для потенциалов строк и столбцов.

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9				0
A2		8	6	5
A3				2	4
Потребность	110	180	30	180	50
βj

α_i + β_j =c_ij, где c_ij – издержки на пересечении строки I и столбца j.

Отсюда легко находим β_j для B1. β₁=c₁₁-α₁ = 7 – 0 = 7.

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9				0
A2		8	6	5
A3				2	4
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7

β₂= 9 – 0 = 9.

α₂= c₂₂ – β₂ = 8 – 9 = -1.

Таким образом, рассчитали потенциалы строк и столбцов.

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9				0
A2		8	6	5		-1
A3				2	4	2
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	9	5	4	2

Далее, если издержки в ячейке на пересечении столбца и строки больше суммы потенциалов для строки и столбца, то смысла перегружать товар в эту ячейку нет.

Расcчитаем значения c_ij - α_i - β_j и запишем их в оставшиеся ячейки. Отрицательное значение покажет, где c_ij < α_i + β_j, то есть где имеется смысл загрузить ячейку с целью снижения издержек. Цветом выделены ячейки, для которых подсчитаны значения.

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9	5	2	3	0
A2	6	8	6	5	12	-1
A3	-3	-9	1	2	4	2
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	9	5	4	2

Как мы видим, максимальное снижение издержек будет в ячейку A3xB2, так как там максимальное по модулю отрицательное число.

Составим контур переноса ячеек по правилам:

• контур представляет замкнутый многоугольник с вершинами

в загруженных клетках, за исключением клетки с вершиной

максимальной неоптимальности «+», и звеньями, лежащими вдоль

строк и столбцов матрицы;

• ломаная линия должна быть связанной в том смысле, что из

любой ее вершины можно попасть в любую другую вершину по

звеньям ломаной цепи (по строке или по столбцу);

• в каждой вершине контура встречаются только два звена, одно

из них располагается по строке, другое — по столбцу;

• число вершин контура четное, все они в процессе перераспределения

делятся на загружаемые и разфужаемые;

• в каждой строке (столбце) имеются две вершины: одна — загружаемая,

другая — разгужаемая.

Цветом помечены загруженные в опорном плане ячейки. Загр. – загружаемые на следующей итерации ячейки, Разгр. – разгружаемые.

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9	5	2	3	0
A2	6	(Разгр) 8	6	5 (Загр)	12	-1
A3	-3	( Загр)-9	1	2 (Разгр)	4	2
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	9	5	4	2

Перегрузим из каждой разгружаемой ячейки в каждую загружаемую минимум из разгружаемых и потребностей, min(A2xB2,A3xB4)=min(140, 130)=130. Получим следующий план:

	Потребители
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110	40
A2		10	30	180
A3		130			50
Потребность	110	180	30	180	50

План не вырожден, загруженных ячеек по прежнему 7.

Рассчитаем потенциалы аналогично предыдущему разу:

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9	3	0	-6	0
A2	6	8	6	5	3	-1
A3	6	2	8	3	4	-7
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	9	7	6	11

По указанной выше причине перегрузим в ячейку A1xB5 40 единиц (min A1xB2,A3xB5) товара по контуру:

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	9 (Разгр.)	3	0	- 6 (Загр.)	0
A2	6	8	6	5	3	-1
A3	6	2 (Загр.)	8	3	4 (Разгр.)	-7
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	9	7	6	11

Получим следующий план:

	Потребители					Запасы
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110				40	150
A2		10	30	180		220
A3		170			10	180
Потребность	110	180	30	180	50

Он также не вырожден.

Рассчитвем потенцалы:

	Потребители					αi
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	7	6	9	6	5	0
A2	0	8	6	5	3	5
A3	0	2	8	3	4	-1
Потребность	110	180	30	180	50
βj	7	3	1	0	5

Отрицательных значений в ячейках нет, снижать издержки потенциала нет, значит найденный план оптимален.

Суммарные затраты – сумма произведений единиц товара в ячейках на издержки в ячейке.

Z=2510.

Ответ: Оптимальный план с издержками 2510:

	Потребители					Запасы
Поставщики	B1	B2	B3	B4	B5
A1	110				40	150
A2		10	30	180		220
A3		170			10	180
Потребность	110	180	30	180	50

Вывод: методом потенциалов с начальным планом, заданным подходом с северно-западного угла найдено оптимальное решение транспортной задачи.