16. Уравнение Рейнольдса для смазочного слоя.

Схема на рис.16.1 представляет задачу о вычислении несущей способности клиновидного слоя смазки вязкостью μ. Ламинарное течение жидкости в клиновом зазоре вызвано движением со скоростью U горизонтальной твердой плоскости относительно неподвижной пластины. Пластина единичной ширины расположена под малым углом к оси Х и образует величины зазоров h₁ и h₀ на входе и выходе из слоя смазки . Вертикальная ось У размещена на выходе из клинового зазора, длиной а. На схеме обозначены эпюры распределения давлений Р(х) и скоростей V(_X,y) жидкости в пределах смазочного клина.

Рассматриваемая схема соответствует течению в подпятниках и подшипниках скольжения и разъясняет механизм формирования несущей способности смазочного слоя.

1. Геометрия течения описывается зависимостью высоты смазочного слоя от координаты Х:

h(х) = h₀ (1+ β х), (16.1)

где β= (h₁ - h₀)/ аh₀ = (к-1)/а.

2. Выделяя в зазоре бесконечно малый объем жидкости 1dхdy, на который действуют силы распределенного по длине Х давления Р(х) и силы вязкого трения τ(х,у), запишем уравнение движения. Поскольку движение частиц жидкости происходит практически без ускорения и только вдоль оси Х то это уравнение отражает равенство нулю суммы проекций сил на ось Х:

Р(х)1dy - [Р(х) +(dР/dx) dx] 1dy + [τ +(dτ/ dy) dy] 1dх - τ1dх = 0,

или: - dР(х)/dx + (dτ/dy) dy =0. (16.2)

Согласно закону вязкого трения: τ(х,у) = μ dV(_X,y)/ dy и 16.2 приобретает вид:

dР(х)/dx = μ d²V(х,_,y)/ dy²). (16.3)

В этом уравнении учитывается сложное распределение скоростей частиц жидкости в масляном клине, поэтому V(_X,y) записывается как функция обеих координат.

У

Р(х)=Р_МАХ

[Р(х) +(dР/dx) dx] 1dy

[τ +(∂τ/ ∂y) dy] 1dх

Р(х)

G

Р(х) 1dy

V(_X,y)

при Х=0

h₁

dy

V(_X,y), при Х_МАХ,,т.е. при

dР(х) dх=0

V(_X,y) при Х=а

h₀

У

h^*

U

0

U

U

Х

τ 1dх

Х_МАХ,,

dх

Х

а

Рис. 16.1

3. Вычислим функцию V(_X,y) дважды интегрируя 16.3 по переменной у с учетом граничных условий V(_X,y) = - U при у=0 и V(_X,y) = 0 при у= h(х).

V(_X,y)= (dР/dx) y²/2μ + С₁ y + С₂,

При этом:

С₂= - U, С₁ =U / h(х) - [(dР/dx)] h(х)/2μ.

Распределение скоростей в масляном клине в явном виде зависит от координаты У, а от Х неявно через градиент давления dР/dx) и h(х):

V(_X,y) = (dР/dx) y²/2μ + {U / h(х) - [(dР/dx)] h(х) / 2μ} y – U. (16.4)

4. Для определения dР/dx воспользуемся уравнением сохранения массы и вычислим объемный расход жидкости в клине Q путем интегрирования 16.4 по у от нуля до h(х):

Q(х)= V(_X,y) dy = h³(х)(dР/dx)/6μ+{U / h(х) - h(х)[(dР/dx)]/2μ} 0,5h²(х)- U h(х)=

= - 0,5 U h(х) – h³(х)[(dР)/dx)]/12 μ = С₃ = Const=- 0,5 U h^*. (16.5)

Из очевидного постоянства Q(х) следует его равенство С₃ = - 0,5 U h^*, где h^* - высота клина при координате Х= Х_МАХ, где эпюра давления имеет максимум, т.е. dР(х)/dx=0.

5. Производная dР(х)/dx , как это следует из 16.5 равна:

dР(х)/dx =6μ U [h^{* -} h(х)]/ h³(х),

а для заданной геометрии масляного клина выражается через 16.1 в явном виде и называется уравнением Рейнольдса:

dР(х)/dx =6μ U β( Х_МАХ - Х)/ h³₀ (1 + β Х )³ . (16.6)

6. Получаемая интегрированием 16.6 функция Р(х):

Р(х)= (6μ U β /h³₀) ∫(Х_МАХ - Х)/ (1 + β Х )³ dx + С₄. (16.7)

содержит две постоянные - Х_МАХ и С₄. Определяя последние через 2 граничных условия: Р(х)=0 при Х=0 и Х=а, после вычислений и преобразований имеем:

С₄= 6μ U β (β Х_МАХ - 1) / 2 β² h²₀) , Х_МАХ = а/(к - 1), (16.8)

Р(х)= [6μ U α /h²₀] Х(к - 1)( а- Х ) / (к + 1) [а + Х(к - 1)]². (16.9)

Зная закон распределения давления Р(х) легко получить координату центра давления.

7. Грузоподъемность смазочного клина единичной ширины G вычисляется интегрированием 16.9 в пределах от 0 до а:

G = - Р(х) dx = [6μ U α /(к - 1)² h²₀] [ - lnк+ 2(к - 1)/ (к + 1)]. (16.10)

Исследуя полученную функцию, нетрудно видеть, что предельное значение грузоподъемности при заданных μ, U и геометрии (β, к) определяется величиной h₀. Режим жидкостной смазки возможен только при h₀ большей, чем удвоенная высота профиля шероховатостей поверхностей пяты и подпятника. Это лимитирует грузоподъемность устройства.

Практика инженерных расчетов опор скольжения использует более сложные расчетные схемы. учитывающие конечность поперечных размеров, кривизну поверхностей, тепловыделение и т.д.