С₄

С₃

С₂

С₁

С₀

η

P

2

ОНА

РК

D

D_ВТ

ω

Р₅

Р₀

Рис. 13.2.

Q

Q

3

4

5

5

1

Рабочая область

характеристики

P_МАХ

D_СЦ

Теоретической основой расчета осевых насосов служит рассмотрение течения среды в решетке радиальных лопастей РК. Обычно эту решетку представляют в виде бесконечной прямой плоской решетки шириной B и шагом t , как это изображено на рис. 13.3. Схема соответствует развертке секущего цилиндра диаметром D_СЦ (D_ВТ <D_СЦ <D) на плоскость и содержит планы скоростей потока в сечениях 0-1-2-3-4-5. Планы скоростей изображены согласно геометрии проточной части, требованию безударного входа в МЛП (угол β₁) и уравнения неразрывности. Обозначены распределение давления по ходу потока и проекции усилий F, действующих на лопасти. При отсутствии работы центробежных сил прирост давления потока происходит за счет преобразования кинетической энергии.

Уравнение Эйлера для анализируемой схемы определяет величину теоретического давления Р_Т через окружную скорость U= U₁ =U₂ и проекцию на ось х абсолютных скоростей С потока С_Х = С_1Х = С_2Х :

Р_Т= ρ U С_Х(Ctg β₁ - Ctg β₂). (13.7)

х

С₅ ≤С₄

Р₅

С₄

5

5

4

4

Р₄

С_2Х

С₃

С₂

W₂

ОНА

β₂

3

3

2

2

Р₂ ≈ Р₃

U₂

F_Y

С_2U

B

Y

W₁

С₁

РК

1

1

Р₀

С₀

β₁

U₁

0

0

F

F_X

t

Рис. 13.3.

Сложность течения через решетку профилей и наличие специфических потерь в МЛП РК значительно снижают точность расчетов по теоретическим моделям, заставляя разработчиков широко применять экспериментальную отработку проектируемых осевых машин.

14. Теорема Жуковского о подъемной силе одиночного профиля.

Для определения сил взаимодействия лопастей с обтекающим решетку потоком полезно рассмотреть простой случай обтекания одиночного профиля плоскопараллельным потоком идеальной жидкости. На рис. 14.1 представлена схема обтекания пластины длиной L потоком жидкости со скоростью W₀ и плотностью ρ. Равнодействующая распределенных по пластине единичной ширины сил давления - F, отклоняющих поток от направления W₀ к W₁ , представлена как сумма проекций на оси х и у. Массовый расход М частиц, подвергающихся возмущению, определяется углом атаки γ:

М = ρ W₀ 1 L Sin γ. (14.1)

Применение теоремы об изменении количества движения системы материальных точек (теоремы импульсов) дает возможность рассчитать величины fх и fу:

• проекция на ось х: М W₁ Cos γ - М W₀ = - F_Х,

• проекция на ось у: М W₁ Sin γ - 0 = F_У.

Полагая в первом приближении равенство скоростей W₁ и W₀ имеем:

F_Х = ρ W²₀ 1 L (1- Cos γ) Sin γ, (14.2)

F_У = ρ W²₀ 1 L Sin² γ. (14.3)

Существенные качественные и количественные отклонения результатов расчета по 14.2 и 14.3 от измеряемых значений F_Х и F_У снимаются введением в эти формулы опытных аэродинамических коэффициентов С_Х (W₀ , γ) и С_У (W₀ , γ). Таким образом, вышеизложенная методика дает только набор параметров, описывающих процесс, и в некоторой степени структуру расчетных зависимостей. Основные причины несоответствия очевидны и вытекают из неверного представления о текучей среде как совокупности невзаимодействующих между собой частиц. Действительно, в создании подъемной силы F_У и силы лобового сопротивления F_Х участвуют не только верхняя, но и нижняя поверхность, а равенство скоростей W₁ и W₀ неочевидно, расчет М по формуле 14.1 вызывает сомнения и т.д. Кроме этого методика расчета не объясняет наличия F_У в случае горизонтального, выпуклого сверху профиля типа крыла птиц, когда Sin γ=0.

Следуя Жуковскому, рассмотрим задачу обтекания профиля в более корректной постановке, изображенной на рис. 14.2. Возмущающая поток сила F распространяет свое влияние на массу жидкости, заключенную внутри контрольной поверхности радиуса r, ограниченной единичной длиной в направлении оси z, совпадающей с осью профиля. На выделенный объем жидкости кроме силы F оказывают силовое воздействие распределенные по цилиндрической поверхности силы давления окружающей среды.

М

W₀ , ρ

W₁

М

F_У

F

F_Х

L

у

x

γ

Рис. 14.1.

При произвольном значении угла α выделим элементарную площадку dl=r dα, на которую действует зависящее от α давление Р(α), а скорость возмущенного потока в центре площадки обозначим вектором W(α).

V(α)

U(α)

W(α)

dl=r dα

α

x

у

W₀ , ρ

F_У

F_Х

F

dα

α

Р(α)

r

Рис. 14.2.

Проекции на оси x и у всех сил, действующих на выделенную массу, записываются при интегрировании распределенных сил давления:

-F_Х - , (14.4)

F_y - , (14.5)

Проекции изменений количества движения на оси х и у вычисляются интегрированием по углу α от 0 до 2π произведения скоростей U(α) или V(α) на элементарный расход dM(α) через выделенное живое сечение 1dl на контрольной поверхности:

, (14.6)

. (14.7)

Для вычисления подъемной силы F_У используем теорему импульсов приравняем 14.5 к 14.7 и учтем, что при любых α V² = W^{2 –} U² :

1(V² Sinα + UV Cosα)dα=

= 1(W²Sinα – U² Sinα +UVCosα)dα= 1W²Sinα dα + 1(UVCosα –U² Sinα )dα=

= 1W²Sinα dα + 1U(VCosα–U Sinα)dα= 1W²Sinα dα + 1UW_τ dα. (14.8)

В соотношении 14.8 W_τ(α)=(Vcosα – USinα) –проекция скорости потока на касательную к цилиндрической контрольной поверхности.

Выполним анализ 14.8, учитывая произвольность величины r, который можно принять достаточно большим. При таком допущении возмущениями потока на контрольной поверхности можно пренебречь, т.е. в интегралах левой и правой частях положить Р(α)= Р₀= Const и U(α)→ W(α)→ W₀≈ Const. Это приводит к нулевым значениям интеграла правой части 14.8 и первого слагаемого левой. В результате расчет F_У сводится к вычислению интеграла:

F_У = 1UWτ dα. = 1W₀ W_τ(α)τ dα = 1ρW₀ (α)dl =1ρW₀ Г. (14.9)

Из формулы Жуковского следует, что если при обтекании профиля возникает циркуляция вектора скорости по замкнутому контуру – Г (гамма), то в создании подъемной силы участвуют большие массы жидкости в окрестностях профиля. Сила действия потока на профиль равна F_У и противоположна ей по направлению.

Для формирования Г при обтекании цилиндра радиусом R достаточно цилиндр вращать c угловой скоростью ω. Возникающая в этом случае подъемная сила, приложенная к цилиндру, (эффект Магнуса) соответствует величине Г=2π R ω (рис. 14.3, а). Обтекание несимметричного крылового профиля формирует подъемную силу F_У даже при нулевых углах атаки за счет более высоких скоростей течения на выпуклой стороной профиля по сравнению с плоской нижней. В этом случае можно иметь высокое значение F_У при минимальном лобовом сопротивлениии F_Х.

F_х

W₀ , ρ

F_y

ω

R

W₀ , ρ

Г

F_y

Рис. 14.3.

а

б

Применительно к течению в решетке профилей осевого насоса (см. рис. 14.4) для каждой лопасти циркуляция вектора скорости Г, т.е. интеграл по контуру 1-2-3-4 легко вычисляется по известному шагу t и величинам W₂u, W₁u. При обходе лопасти, как указано на рисунке стрелками, величина Г складывается из двух слагаемых, соответствующих участкам 1-2 и 3-4:

Г= t W₂u - t W₁u= t (W₂u - W₁u) (14,10)

Расчет циркуляции для лопасти направляющего аппарата дает величину циркуляции:

Г_НА= t_НА С_4У + t_НА С_3У = t_НА С_3У . (14,11)

х

С₄

С₃

t_НА

4

2

1

3

β₁

4

С_2Х

С₀

U₂

С₂

W₂

W₁

С₁

β₂

С_2U

t

ОНА

3

2

Р₂ ≈ Р₃

W_2U

РК

1

у

Р₀

U₁

0

W_1U

Рис. 14.4.

Теорема Жуковского служит теоретической базой для инженерных методик расчета осевых насосов. При этом широко использоваются экспериментальные данные полученные на испытаниях насосных агрегатов и продувке решеток.