13. Метод и устройство для измерения температуропроводности, основанные на применении временных интегральных характеристик.

Рассмотрим плоский образец, изготовленный из исследуемого материала. Пусть в трех сечениях х, с координатами этого образца, установлены три датчика температуры ДТ1, ДТ2, ДТ3, например, термопары или термометры сопротивления, позволяющие измерять температуры в этих сечениях.

В случае использования монолитного образца из исследуемого материала, в нем должны быть просверлены три отверстия, расположенные в плоскостях с координатами , и . Перед экспериментом в эти три отверстия следует ввести термопары для измерения температур и .

В процессе эксперимента исследуемый образец нагревают или охлаждают по какому-либо закону, регистрируют изменение температур и , а затем находят искомое значение коэффициента температуропроводности а путем обработки полученной информации.

Если в процессе эксперимента зарегистрированы температуры и соответственно в точках с координатами и , то математическую модель температурного поля в исследуемом образце в области можно записать в виде: с дополнительным условием превращающим прямую краевую задачу в инверсную краевую задачу теплопроводности (7.10) – (7.14) относительно неизвестного параметра, представляющего собой искомый коэффициент температуропроводности а.

Применив преобразование Лапласа к рассматриваемой инверсной краевой задаче теплопроводности,

так как в силу (7.11) то

С учетом этих обозначений прямая краевая задача теплопроводности после применения к ней преобразования Лапласа, принимает вид: с дополнительным условием Общее решение уравнения имеет вид Подставив , а затем в общее решение (7.15) на основании (7.12а) и (7.13а), получаем

систему двух уравнений (7.12b), (7.13b). Если пока считать коэффициент температуропроводности а параметром, то из системы уравнений (7.12b), (7.13b) легко получить значения двух коэффициентов А и В, вчастности

откуда следует

Потребуем, чтобы найденное решение (7.15) с учетом (7.16) и (7.17) удовлетворяло дополнительному условию (7.14а).

Подставив значения А и В, выраженные в виде (7.17) и (7.16), в общее решение и приравняв в полученной записи получим одно уравнение

с одним неизвестным – коэффициентом температуропроводности а.

Уравнение (7.18) легко решается численно, например, методом деления отрезка пополам (после предварительного определения отрезка, содержащего только один корень).

Если ввести обозначение , то уравнение (7.18) примет вид

(7.18а)

Если путем вычислений найдем корень уравнения (7.18а), то искомый коэффициент температуропроводности а находится по формуле

Опыт практической работы показал, что погрешность вычисления корня уравнения (7.18а), а значит и погрешность определения коэффициента температуропроводности а, существенно зависит от того, насколько правильно выбрана величина параметра р преобразования Лапласа, входящего в уравнение (7.18а) в качестве параметра. Поэтому одним из существенно важных этапов отработки практической методики измерения коэффициента температуропроводности а является этап выбора оптимального значения параметра р преобразования Лапласа.