Линейная САУ описывается передаточной функцией вида:

;

где А(р) и В(р) – полиномы формулы. Комплексные числа, являющиеся корнями многочлена B(р), называются нулями передаточной функции, а корни многочлена A(р) – полюсами. Основные передаточные функции, используемые в теории автоматического управления приведены в таблице.

Временные характеристики показывают реакцию звена на тот или иной тип входного воздействия, т.е. позволяют оценить динамические свойства звеньев. Различают два основных типа входных воздействий:

1. Единичный скачок или функция Хевисайда;

2. Импульсная функция, δ – функция или функция Дирака.

Функция Хевисайда определяется условиями вида:

Реакция системы на единичный скачок называется переходной характеристикой h(t). Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию , выходная величина будет равна .

Функция Дирака определяется условиями:

Реакция системы на δ – функцию называется функцией веса w(t). Импульсная функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции .

Одним из важнейших вопросов, решаемых при разработке систем автоматического управления, является вопрос быстродействия проектируемой системы автоматического управления, т.е . разрабатываемое устройство должно успевать отрабатывать инерционные свойства объекта управления во всём диапазоне рабочих частот. Инерционность системы позволяет оценить частотная передаточная функция, которая представляет собой реакцию системы на гармонической воздействие. Пусть на вход звена подаётся гармоническая функция вида

,

где X_m – амплитуда, а w – угловая частота входного сигнала. Тогда на выходе линейного звена в установившемся режиме тоже будет наблюдаться гармоническая функция той же, но другой амплитуды Y_m и сдвинутая по фазе относительно входного сигнала на угол ψ.

.

Соответственно, возможно определить усиление по амплитуде входного сигнала

,

и разность фаз между входным и выходным сигналами

.

Зависимость a(w) – носит название амплитудо - частотной характеристики, а зависимость φ(w) – фазо – частотной характеристики.

В практических расчётах получили распространение логарифмические частотные характеристики, которые включают в себя логарифмическую амплитудо – частотную характеристику (ЛАЧХ) и логарифмическую фазо – частотную характеристику (ЛФЧХ). ЛАЧХ определяется выражением

.

ЛФЧХ называют график зависимости φ(w), построенный в логарифмическом масштабе.

–файле представлены программы для определения влияния параметров типовых звеньев (коэффициенты усиления К, постоянных времени на временные и частотные характеристики). Программа 1 иллюстрирует влияние изменения коэффициента усиления К апериодического звена на временные и частотные характеристики. Пакет Matlab может осуществлять аналитические вычисления и преобразования. Для этого нужно воспользоваться пакетом символьной математики (Symboliс Math Toolbox), в котором переменные определяются как символьные типа syms.

Все вышеперечисленные характеристики можно получить в одном окне, используя команду Ltiview. При выполнении этой команды Matlab строит переходные и частотные характеристики исследуемого звена. При входе в меню Edit появляется ниспадающее меню, из которого следует выбрать Plot Configurations, - что позволяет получить все вышеперечисленные характеристики в одном окне.

%ПРОГРАММА 1

k=2; %Коэффициент усиления.

h1=tf([k],[1,1]); %Передаточная функция при к=2.

h2=tf([2*k],[1,1]); %Передаточная функция при к=4.

h3=tf([4*k],[1,1]); %Передаточная функция при к=8.

figure(1) %Переходные характеристики для трех

step(h1,h2,h3),grid on %передаточных функций.

figure(2) %Импульсные характеристики для трех

Impulse(h1,h2,h3),grid on %передаточных функций.

figure(3) %Логарифмические характеристики для трех

bode(h1,h2,h3),grid on %передаточных функций.

figure(4) %Амплитудно-фазовые характеристики для трех

nyquist(h1,h2,h3),grid on %передаточных функций.

syms s %Ввод пакета Symbolic math Toolbox.

%Ввод символьных переменных.

hp1=ilaplace(2/(s*(s+1))) %Аналитическое определения

hp2=ilaplace(4/(s*(s+1))) %выражений для вычисления

hp3=ilaplace(8/(s*(s+1))) %переходных функций.

hi1=ilaplace(2/((s+1))) %Аналитическое определения

hi2=ilaplace(4/((s+1))) %выражений для вычисления

hi3=ilaplace(8/((s+1))) %импульсных переходных функций.

ltiview(h1,h2,h3) %Команда для просмотра переходных и

%частотных характеристик.

Влияние изменения постоянной времени на временные и частотные характеристики апериодического звена приведен в программе 2 (tip_zv_02.m).

%Программа 2

k=2; %Коэффициент усиления.

T=1 %Постоянная времени.

h1=tf([k],[T,1]); %Передаточная функция при Т=1.

h2=tf([k],[2*T,1]); %Передаточная функция при Т=2.

h3=tf([k],[4*T,1]); %Передаточная функция при Т=4.

figure(1) %Переходные характеристики при

step(h1,h2,h3),grid on %разных значениях Т.

figure(2) %Импульсные переходные характеристики

Impulse(h1,h2,h3),grid on %при разных значениях т.

figure(3) %Логарифмические характеристики

bode(h1,h2,h3),grid on %при разных значениях Т.

figure(4) %Амплитудно-фазовые характеристики

nyquist(h1,h2,h3),grid on %при разных значениях Т.

syms s %Ввод пакета Symbolic math Toolbox.

%Ввод символьных переменных.

hp1=ilaplace(2/(s*(s+1))) %Аналитическое определения

hp2=ilaplace(4/(s*(s+1))) %выражений для вычисления

hp3=ilaplace(8/(s*(s+1))) %переходных функций при разных Т.

hi1=ilaplace(2/((s+1))) %Аналитическое определения

hi2=ilaplace(4/((s+1))) %выражений для вычисления импульсных

hi3=ilaplace(8/((s+1))) %переходных функций при разных Т.

ltiview(h1,h2,h3) %Команда для просмотра переходных и

%частотных характеристик.

Запишем программу для исследования влияния изменения параметров колебательного звена на его временные и частотные характеристики. Так как постоянные времени колебательного звена задаются самостоятельно, то предварительно нужно определить корни характеристического управления знаменателя передаточной функции (4).

Запишем произвольную передаточную функцию колебательных звеньев.

(10)

В пакете МАТLAB корни характеристического уравнения знаменателя определяются следующими командами

p=[3,4,1]

roots(p)

В результате получим

Ans=

-1.0000

-0.3333

Что свидетельствует об апериодичности характеристик переходного процесса. Передаточная функция (10) соответствует двум последовательно соединенным апериодически звеньям.

Изменим коэффициенты характеристического уравнения и получим

p= [4,3,1]

roots(p)

Ans=

-0.3750+j0.3307

-0.3750-j0.3307

Комплексные корни характеристического уравнения знаменателя указывает, что передаточная функция соответствует колебательному звену.

В программе 3 исследовано влияние коэффициента .

%Программа 3

k=2; %Коэффициент усиления.

h1=tf([k],[4,3,1]); %Передаточная функция при К=2.

h2=tf([2*k],[4,3,1]); %Передаточная функция при К=4.

h3=tf([4*k],[4,3,1]); %Передаточная функция при К=8.

figure(1) %Переходные функции при разных

step(h1,h2,h3),grid on %значениях К.

figure(2) %Импульсные переходные функции при