Метод ломаных (Эйлера) решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Это простейший численный метод, он называется еще методом Эйлера. В практике вычислений он употребляется очень редко из-за невысокой точности. Но на его примере удобно пояснить способы построения и исследования численных методов.

Рассмотрим задачу Коши

и выберем на отрезке некоторую сетку значений аргумента так, чтобы выполнялись соотношения (сетка может быть неравномерной). Разлагая решение u(х) по формуле Тейлора на интервале сетки и обозначая u(x_n) = u_n, получим

(5)

Стоящие в правой части производные можно найти, дифференцируя уравнение требуемое число раз

(6)

и т.д. В принципе, если f(x,u) имеет q-е непрерывные производные по совокупности аргументов, то в разложении в ряд Тейлора можно удержать члены вплоть до О(h^q+1). Однако использовать для расчетов формулу Тейлора с большим числом членов невыгодно. В простейшем случае, ограничиваясь только первым членом разложения, получим схему ломаных (она же схема Эйлера)

(7)

Поскольку при такой замене можно найти только приближенные значения искомой функции в узлах, то будем обозначать эти значения через y_n в отличие от точных значений u_n = u(x_n). Для численного расчета по схеме ломаных достаточно задать начальное значение . Затем по итерационной формуле (7) последовательно вычисляются величины у₁, у₂, …, у_N.

Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис. 3, где изображено поле интегральных кривых. Использование только первого члена формулы Тейлора означает движение не по интегральной

кривой, а по касательной к ней. На каждом шаге мы заново находим касательную; следовательно, траектория движения будет ломаной линией:

но . Отсюда .

Исследуем сходимость метода ломаных, предполагая правую часть f(x,u) непрерывной и ограниченной вместе со своими первыми производными: . Отсюда следует, что .

Рассмотрим погрешность приближенного решения

Вычитая (5) из (7), получим соотношение, связывающее погрешности в соседних узлах сетки

(члены более высокого порядка малости здесь опущены). Последовательно применяя рекуррентное соотношение (8), выразим погрешность на произвольном шаге через погрешность начальных данных. Поскольку, как видно из формулы (8) , имеем

Отсюда

Раскрываем квадратные скобки

Отсюда видно, что для m – ного шага формула погрешности будет выглядеть следующим образом

(9)

Отсюда нетрудно дать асимптотическую оценку погрешности. Заметим, что при малых шагах сетки справедлива формула . Действительно, разложим функцию в ряд Тейлора по степеням в окрестности точки = 0

.

Возьмем в качестве функцию е^х и разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки х₀ = 0

, т.е. при малых х: .

Используя это соотношение при малых шагах сетки h, получаем

причем в качестве верхнего предела интеграла можно взять х_т, ибо ошибка при этом остается в пределах общей точности преобразований. Аналогично преобразуя второй член (9) получим

. (10)

Здесь h(x) – непрерывная функция, дающая в каждом узле х_n величину шага h_n; в качестве такой функции можно выбрать линейный сплайн.

Рассмотрим структуру погрешности (10). Первое слагаемое справа связано с погрешностью начального значения z₀ = y₀ – u₀, которая умножается на ограниченную (благодаря ограниченности производных) величину. Начальное значение можно задать точно и считать, что z₀ = 0. Остановимся на втором слагаемом. Оно обусловлено тем членом формулы Тейлора (5), который был отброшен при выводе схемы ломаных (7). Оценим это слагаемое сверху; заменяя все функции под интегралами их модулями и вынося max h(x) за знак интеграла, получим

(11а)

где (11б)

Таким образом, при приближенное решение сходится к точному равномерно (на ограниченном отрезке ) с первым порядком точности.