Обзорная лекция по численным методам перед госэкзаменом Метод Гаусса

Как известно из курса линейной алгебры, решение системы линейных уравнений можно выразить по правилу Крамера через отношение определителей. Но этот способ неудобен для вычислений, ибо определитель найти не проще, чем непосредственно решить исходную систему

или в более короткой записи

.

Начнем исследование системы с частного случая, когда численное решение находится особенно просто. Пусть матрица системы треугольная, т.е. все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Тогда из последнего уравнения сразу определяется х_n. Подставляя его в предпоследнее уравнение, находим х_n-1 и т.д.

Общие формулы имеют вид

, к = n, n - 1, …, 1,

если a_к,l = 0 при к > l.

Метод Гаусса для произвольной системы основан на приведении матрицы системы к треугольной. Вычтем из второго уравнения системы первое, умноженное на такое число, чтобы уничтожился коэффициент при х₁. Затем таким же образом вычтем первое уравнение из третьего, четвертого и т.д. Тогда исключатся все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали.

Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т.д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали. Исключение коэффициентов ниже главной диагонали называется прямым ходом исключения. Полученная треугольная система решается обратным ходом по формулам

, к = n, n - 1, …, 1.

Метод простых итераций решения систем линейных алгебраических уравнений

Пусть дана линейная система

. (1)

Введя в рассмотрение матрицы

.

Систему (1) запишем в виде матричного уравнения

АХ = В.

Предполагая, что диагональные элементы

a_ii , (i = 1, 2, …, n),

разрешим первое уравнение системы (1) относительно х₁, второе – относительно х₂ и т.д.

, (2)

где при и _ij = 0 при

i = j (i, j = 1, 2, …, n).

Введя матрицы

и ,

систему (2) тоже можно записать в матричной форме

(3)

Систему (3) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение принимаем столбец свободных членов

.

Далее, последовательно строим матрицы-столбцы

- первое приближение,

- второе приближение.

Вообще говоря, любое (к+1)-е приближение вычисляют по формуле

(к = 0, 1, 2, …) (4)

Если последовательность приближений Х⁽⁰⁾, Х⁽¹⁾,…, Х^(к),… имеет предел

,

то этот предел является решением системы (2). В самом деле, переходя к пределу в равенстве (4), будем иметь

,

или т.е. предельный вектор Х является решением системы (3), а следовательно и системы (1).

Существует правило: для успешного применения процесса итераций, модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики, по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные коэффициенты при этом роли не играют).