Теорема о единственности решения задачи Дирихле
(Это тоже следствие принципа максимума).
Теорема. Если две функции, гармонические внутри замкнутой ограниченной связной области V и непрерывные на её границе, равны друг другу всюду на границе области V, то они равны друг другу и всюду внутри V.
Иными словами, гармоническая внутри области V функция однозначно определяется своими значениями на границе области.
Доказательство. Пусть q1(M) и q2(M) – две гармонические функции, принимающие одинаковые значения на границе области V, обозначим через q(M) разность этих функций:
q(M)=q1(M)– q2(M).
Тогда q(M) – гармоническая внутри V функция, равная нулю всюду на границе области V. Докажем, что она равна нулю также всюду внутри V. Допустим, что внутри V найдутся точки, в которых функция отлична от нуля, например положительна. Тогда и наибольшее значение функции должно быть положительным. Но на границе функция q=0. Значит наибольшее значение достигается во внутренней точке области V. А это невозможно, т.к. q(M) – гармоническая функция.
Аналогичное противоречие мы получили бы, если бы внутри области оказалась бы точка, где функция отрицательна.
Итак, во всех точках области V функция q(M) должна равняться нулю: q(M)º0, откуда q1(M) - q2(M)º0 т.е. q1(M) º q2(M), что и требовалось доказать.
Теорема о непрерывной зависимости решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа от входных данных
(Это тоже следствие принципа максимума).
Напомним, что задача называется физически определённой, если малому изменению условий, определяющих решение задачи, в данном случае граничных условий, соответствует малое изменение самого решения.
Теорема. Пусть u1 и u2 – непрерывные в V+S гармонические внутри V функции, для которых |u1–u2|£e на S. Тогда это же неравенство выполняется внутри V.
Это
утверждение непосредственно вытекает
из следствия 2 теоремы о наибольшем и
наименьшем значениях, где доказывалось,
что если |u|£U|S,
то это неравенство выполняется всюду
в V+S.
Действительно, обозначим
.
По условию теоремы |u1–u2|£e
на S,
это значит, что
на S,
но e
– это гармоническая функция. Возьмём
три функции –e,
и e.
Имеем на границе
.
Значит
.
Что и требовалось доказать.
Задачи
1.
Решить задачу Коши
,
,
.
Решение. Это неоднородное уравнение. Его решение является суммой двух решений - общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения – это решение, получающееся по формуле Даламбера
Частным решением неоднородного уравнения в данной задаче является функция
.
Ответ.
2. Решить методом Фурье
Решение. Это первая краевая задача для уравнения колебаний струны с ненулевыми граничными условиями. Собственные числа и собственные функции первой краевой задачи для уравнения колебаний струны нам известны. (Кому неизвестны пожалуйста, повторите).
Но
здесь неоднородные граничные условия
Делаем
замену переменных:
,
где
должна удовлетворять условиям:
;
Тогда
.
Получили
,
тогда граничные условия для функции
будут:
;
то есть они становятся однородными
(нулевыми).
Начальные условия для функции :
Уравнение
для функции
у нас остаётся однородным:
.
Решение этого уравнения при нулевых граничных условиях имеет вид:
,
где
и
- это коэффициенты Фурье начальных
данных.
Ввиду
ортогональности системы синусов, этот
интеграл не равен нулю только при
=
интегрируем по частям:
Отсюда
Ответ:
3. Решить методом Фурье
Решение.
Это неоднородное уравнение. Решения
неоднородных уравнений ищутся в виде
суммы двух функций
,
где
-
решение однородной задачи для уравнения
со всеми поставленными в задаче начальными
и граничными условиями, а
- решение неоднородной задачи для
уравнения
с нулевыми начальными и граничными
условиями.
Очевидно,
что в этом случае функция
будет представлять искомое решение
неоднородного уравнения. В нашем случае
функция
будет равна нулю, ввиду нулевых начальных
и граничных условий. Но нам для решения
неоднородной задачи потребуются
собственные числа и собственные функции
однородной задачи. В нашем случае
однородная задача является первой
краевой задачей, её собственные числа
и собственные функции нам известны:
,
.
Решение неоднородной задачи ищется в
виде ряда по собственным функциям
однородной задачи:
,
где
необходимо будет найти, а для этого
неоднородность
также необходимо разложить в ряд Фурье
по собственным функциям однородной
задачи. Видно, что выбранная в таком
виде функция
удовлетворяет нулевым граничным условиям
за счёт присутствующего в ней сомножителя
,
а для получения нулевых начальных
условий, надо потребовать, чтобы
и
.
Итак,
разложим функцию
в ряд Фурье по собственной системе
функций
.
Найдём коэффициенты Фурье
:
Итак,
для отыскания функций
имеем уравнение:
.
Решение
этого обыкновенного неоднородного
дифференциального уравнения ищется в
виде суммы частного решения и общего
решения однородного уравнения:
При нашей правой части частное решение
ищется в виде
Подставляем
в уравнение
получаем:
Отсюда
Значит
Подставляя
начальные данные
найдём коэффициенты
и
:
Отсюда
Итак,
функции
- найдены.
Поскольку
,
получаем ответ.
Ответ.
