Принцип максимума для уравнения теплопроводности и его следствия

Принцип максимума. Если функция u(x,t), определённая и непрерывная в замкнутой области 0£t£T и 0£x£l, удовлетворяет уравнению теплопроводности:

u_t=a²u_xx

в точках области 0<x<l, 0<t£T, то максимальное и минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в начальный момент времени, или в точках границы x=0, или x=l.

Д

Рис. 21.2

оказательсво. Отметим эти границы двойной линией (см. рис. 21.2). Обозначим через M максимум u(x,t) на всём нашем прямоугольнике, а через m – наибольшее значение u(x,t) на двойной границе и предположим, что M>m. (Метод от противного). Пусть (x₀,t₀) – та точка нашего прямоугольника (внутренняя, или лежащая на его верхней границе), для которой u(x₀,t₀)=M.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

.

Для этой функции на двойной границе выполнено неравенство:

С другой стороны, u(x₀,t₀)=u(x₀,t₀)=M, т.е. наибольшее значение u(x,t) не меньше, чем M. Пусть максимальное значение принимается в некоторой точке (x₁,t₁). Так как u(x₁,t₁)³M, а на двойной границе u(x,t)<M, то точка (x₁,t₁) не может лежать на двойной границе.

Но если точка (x₁,t₁) – внутренняя точка максимума, то в ней u_t=0; u_x=0; u_xx£0 (что известно из курса анализа) и, следовательно, u_t–a²u_xx³0. Если же (x₁,t₁) лежит на верхней границе прямоугольника, то u_t³0; u_x=0; u_xx£0 и, опять-таки u_t–a²u_xx³0.

Итак, мы показали, что если M=max u(x,t)>m, то существует точка (x₁,t₁), в которой u_t–a²u_xx³0. Вспоминая, что

вычислим u_t–a²u_xx:

u_t–a²u_xx=

Полученное противоречие показывает невозможность неравенства M>m. Тем самым доказано неравенство u(x,t) £ max u(x,t) на двойной границе. Принцип максимума обоснован.

Так как функция –u(x,t) тоже удовлетворяет уравнению теплопроводности, то применяя к ней принцип максимума, можно доказать ещё и принцип минимума.

Принцип минимума. Наименьшее значение u(x,t) обязательно принимается на двойной границе.

Следствия из принципа максимума

Теорема единственности. Если две функции u₁(x,t) и u₂(x,t), определённые и непрерывные в области 0£t£T и 0£x£l, удовлетворяют уравнению теплопроводности:

u_t=a²u_xx+f(x,t) (для 0<x<l, t>0)

и одинаковым начальным и граничным условиям:

u₁(x,0) = u₂(x,0) = j (x);

u₁(0,t) = u₂(0,t) = m₁(t);

u₁(l,t) = u₂(l,t) = m₂(t),

то тогда u₁(x,t) º u₂(x,t).

Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию:

u(x,t)= u₂(x,t)– u₁(x,t).

Поскольку функции u₁(x,t) и u₂(x,t) непрерывны при 0£t£T; 0£x£l, то и функция u(x,t), равная их разности, также непрерывна в этой же области. Как разность двух решений уравнения теплопроводности в области 0<x<l, t>0 функция u(x,t) является решением однородного уравнения теплопроводности в этой области. Применим к u(x,t) принцип максимума и минимума. На границах по условию задачи имеем:

u(x,0) = 0; u(0,t) = 0; u(l,t) = 0.

Но поскольку и максимум и минимум на границах равны нулю, то и функция будет равна нулю, поэтому u(x,t) º 0. Отсюда u₁(x,t) º u₂(x,t). Таким образом, решение уравнения единственно. Теорема единственности доказана.

Докажем ещё ряд прямых следствий из принципа максимума.

1. Если два решения уравнения теплопроводности u₁(x,t) и u₂(x,t) удовлетворяют условиям:

u₁(x,0)£u₂(x,0); u₁(0,t)£u₂(0,t); u₁(l,t)£ u₂(l,t),

то u₁(x,t) £ u₂(x,t) для всех значений 0£t£T; 0£x£l.

Доказательство. Разность u=u₂–u₁ удовлетворяет условиям, при которых установлен принцип максимального значения, и, кроме того:

u(x,0)³0; u(0,t)³0; u(l,t)³0.

Поэтому u(x,t)³0 для 0<x<l; 0<t£T, т.к. иначе функция u(x,t) имела бы отрицательное минимальное значение в области 0<x<l; 0<t£T.

2. Если три решения уравнения теплопроводности u(x,t); удовлетворяют условиям при t=0; x=0; x=l, то эти же неравенства выполняются тождественно, т.е. для всех x и t при 0£t<T; 0£x£l.

Это утверждение доказывается применением следствия 1) к функциям: u(x,t), и u(x,t), .

3. Если для двух решений уравнения теплопроводности имеет место неравенство:

|u₁(x,t)–u₂(x,t)|£e для t=0; x=0; x=l,

то |u₁(x,t)–u₂(x,t)| £e тождественно, т.е. имеет место для всех t и x, 0£ t< T; 0£ x£ l.

Это утверждение вытекает из следствия 2), если его применить к следующим трём решениям уравнения теплопроводности:

=–e

u(x,t) = u₁(x,t)–u₂(x,t)

=e

Следствие 3) позволяет установить непрерывную зависимость решения первой краевой задачи от начального и граничных условий. Если мы в некоторой физической задаче вместо решения u уравнения теплопроводности, соответствующего начальному и граничным условиям:

u(x,0) =j (x); u(0,t) = m₁(t); u(l,t) = m₂(t),

возьмём решение u*(x,t), соответствующее другим начальному и граничным значениям, определяемым функциями j*(x); m₁*(t); m₂*(t), которые отличаются от предыдущих на e, т.е.

|j(x)– j*(x)| £e; |m₁(t)– m₁*(t)| £e; |m₂(t)– m₂*(t)| £e;

то функция u(x,t) будет отличаться от функции u*(x,t) на то же число e:

| u(x,t)– u*(x,t)| £e.

Это неравенство доказывает непрерывную зависимость решения первой краевой задачи от начального и граничных условий.