Консультация по умф перед гоСом Формула Даламбера

Пусть дана струна столь длинная, что её практически можно считать бесконечной. Пусть на эту струну не действуют никакие внешние силы. Тогда закон колебания струны будет задаваться уравнением:

и начальными условиями:

Где – начальное отклонение, а – начальная скорость (ясно, что и должны быть заданы для всех ).

Задавать граничные условия здесь не имеет смысла: струна бесконечна и, следовательно, не имеет границ.

Уравнение колебания струны является уравнением гиперболического типа, т.к. дискриминант квадратичной формы . Сформулированная дифференциальная задача называется задачей Коши.

Приведём это уравнение к каноническому виду. Составим характеристическое уравнение квадратичной формы

.

Оно распадается на два уравнения:

.

Решая эти уравнения получим два семейства характеристик:

; .

Следовательно, для приведения уравнения колебания к каноническому виду, надо сделать следующую замену переменных:

, .

Для того, чтобы осуществить эту замену, надо выразить и через производные от u по  и .

Предварительно найдём:

_x=1; _x=1; _t=–a; _t=a.

u_t=–au_+au_.

u_x= u__x+u__x= u_+u_.

Найдём вторые производные:

u_xx=(u_)__x+(u_)__x+(u_)__x+(u_)__x=

+u_ +2u_+u_,

u_tt=–a(u_)__t-a(u_)__t +a(u_)__t+a(u_)__t=

=a²u_– 2u_a²+a²u_.

Первое уравнение умножаем на a² и после сокращений получаем уравнение:

u_=0.

Вот такой вид получает уравнение колебаний струны в канонической форме.

Для того чтобы решить это каноническое уравнение, перепишем его следующим образом:

(u_)_=0.

Так как производная от (u_) по  равна нулю, то (u_) не зависит от , следовательно (u_) может зависеть только от : т.е.

(u_)=( ); u_=( ).

Далее, интегрируя по  полученное равенство, получим:

u=( )d+C,

где С=const, т.е. С не зависит от , однако может зависеть от , поэтому обозначим C=F(), где F – совершенно произвольная функция одного переменного. С другой стороны, в силу произвольности функции () её неопределённый интеграл также является произвольной функцией от .

Обозначим его через Ф( ). Итак:

u=Ф( )+F().

Или, если вернутся к старым переменным x и t , получим:

u=Ф(x–at)+F(x+at).

Это общее решение уравнения колебаний струны. Для того, чтобы определить функции Ф и F (и, тем самым, найти закон колебания данной струны) надо использовать начальные условия.

Из первого условия u(x,0)=(x) следует:

(x–a0)+F(x+a0)= (x)+F(x)=(x).

Для того чтобы использовать второе начальное условие

u_t(x,0)=(x)

продифференцируем уравнение u=(x–at)+F(x+at) по t.

При этом под подразумевается производная от функции одного аргумента Ф(), а затем уже дифференцируется  по t. Точно также и для функции F. Имеем:

.

Подставляем теперь в это равенство t=0:

Это равенство справедливо при всех x. Интегрируя его в границах от 0 до x, получим:

.

Или, обозначая постоянную величину F(0)– (0) через С, будем иметь:

.

Переменную интегрирования под знаком интеграла мы обозначили через z, (чтобы не путать с верхней границей интегрирования). Решая теперь полученное уравнение совместно с ранее найденным уравнением, найдём неизвестные функции Ф и F:

.

Вычитая и складывая эти два уравнения, получим:

,

.

Хотя здесь ещё имеется некоторый элемент неопределённости (неизвестна константа С), но, как мы увидим чуть позже, это не помешает нам найти однозначно функцию u(x,t).

Последние два равенства справедливы, каким бы не было вещественное число x, они остаются в силе и в том случае, если вместо x подставить, например, x–at (ведь x–at также является вещественным числом при любых x и t, и поэтому последние два равенства останутся в силе, если в них подставить x–at вместо x). Получаем: