§ 120. Парабола и её каноническое уравнение

Определение. Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, не проходящей через фокус и называемой директрисой.

Определение. Расстояние от фокуса параболы до её директрисы называется параметром параболы. Эксцентриситет параболы принимается равным единице.

Опустим из фокуса перпендикуляр на директрису и точку пересечения этого перпендикуляра с директрисой параболы обозначим буквой . Введём на плоскости ДПСК, поместив начало координат в центре отрезка , принимая за ось прямую , с положительным направлением от к (См. рис.176).

Расстояние от фокуса до директрисы обозначим буквой (это параметр параболы). В выбранной системе координат фокус имеет координаты . Уравнение директрисы .

Рис. 176

Пусть - произвольная точка плоскости. Обозначим через расстояние от точки до фокуса параболы, а через - расстояние от точки до директрисы этой параболы.

Точка лежит на данной параболе тогда и

только тогда, когда . Так как ,

а , то уравнение параболы имеет вид:

. Это уравнение эквивалентно следующему уравнению: .

Или: (1)

Определение. Уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Рис. 177

§ 5. Деление направленного отрезка в данном отношении

Пусть на одной и той же прямой лежат два направленных отрезка и , причем невырожденный направленный отрезок. Тогда отношение в случае, если направленный отрезок также невырожденный, называется число , абсолютная величина которого равна и которое положительно, если и имеют одинаковое направление, и отрицательно в противном случае. Если отрезок вырожденный, а отрезок невырожденный, то будем считать, что . Если отрезок вырожденный, то отношение не определяется.

Если отношение к равно , то пишут .

Пусть на некоторой прямой задан невырожденный направленный отрезок и путь С – какая-нибудь точка этой прямой, отличная от точки В.

Отношением, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , называется число , определяемое соотношением .

Из этого определения следует, что , если точка С лежит между

А В точками А и В, и в противном случае.

При этом , если точка А лежит между

т очками В и С.

B C

И , если точка В лежит между точками А и С.

А С

Заметим, что отношение, в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , никогда не равно -1.

Теорема 4. Если на оси координат заданы две различные точки и и, если точка делит направленный отрезок в отношении , то

; и

Доказательство. Из данного определения отношения , в котором точка С делит невырожденный направленный отрезок , а также из определения координаты направленного отрезка, лежащего на оси, следует

значит на основании теоремы 2 § 4 (то ,что координата направленного отрезка заданного двумя точками и оси координат, вычисляются по формуле ), имеем: , откуда .

Следствие. Координата середины отрезка равна полусумме координат его концов: . В самом деле: для середины отрезка .