Консультация перед госэкзаменом по аналитической геометрии

1. Векторы. Вектор - это направленный отрезок.

С ложение векторов. . Векторы и - свободные. Отложим вектор от конца вектора , тогда - соединяющий начало с концом есть вектор .

Или по правилу параллелограмма.

Коллинеарные - значит параллельные, или лежащие на одной прямой. Компланарные - значит лежащие в одной плоскости.

Определение. Произведением числа на вектор в случае ; , называется вектор, коллинеарный вектору , модуль которого равен и который направлен в ту же сторону, что и вектор , если и в противоположную, если . Если или , то по определению .

Координаты. Координата вектора на оси - это число, модуль которого равен длине отрезка и положительное, если направление вектора совпадает с направлением оси, если нет, то отрицательное.

Координаты вектора на плоскости - это координаты проекций вектора на координатные оси и . . Аналогично в пространстве.

Координаты точки - это координаты радиуса - вектора этой точки.

Скалярное произведение: .

Это проекция одного вектора на другой: .

Это, также, косинус угла между векторами и . . Отсюда .

Свойства скалярного произведения:

1) - комутативность, доказывается прямо из определения, т.к. косинус - четная функция;

2) - ассоциативность при умножении на число;

3) - дистрибутивность.

Доказательство пунктов 2) и 3) проводится с помощью координат проекций.

Скалярное произведение в координатах даётся для ДПСК. Если , ; то .

Векторное произведение: . Оно

не коммутативно, т.к. синус - функция нечётная. Геометрически - это вектор, модуль которого равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , направленный в сторону положительной правой тройки. Механический смысл - это момент силы.

Свойства векторного произведения:

1) ;

2) ;

3) .

В координатах: .

§ 44. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением трех векторов лежащих в ориентированном пространстве, называется скалярное произведение вектора на вектор , т.е. .

Смешанное произведение равно объему ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах .

Объем ориентированного параллелепипеда в координатах выражается формулой

.

Рассмотрим задачу. Даны вектора и . Найти объём параллелепипеда, построенного на векторах и . Решение. Вначале найдём координаты вектора .

.

Затем, подсчитаем определитель 3-го порядка.

200.

2. Прямая и плоскость.

а) Общее уравнение прямой на плоскости: ;

b) Уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку в каноническом виде: , где - направляющий вектор прямой;

с) В параметрическом: , .

d) Общее уравнение плоскости: ;

е) Параметрические уравнения плоскости: , , .

f) Нормальный вектор плоскости. .