1.7 Метод анализа размерностей

Позволяет выразить общую функциональную зависимость для любого исследуемого процесса в виде уравнения связи между строго определенным числом безразмерных комплексов, состоящих из физических величин с определенной размерностью, выраженной с помощью основных единиц измерения. Этот метод базируется на двух допущениях:

1) известно заранее (из практических данных), от каких именно параметров процесса и переменных зависит рассматриваемая физическая величина;

2) связь между всеми существенными для исследуемого процесса физическими величинами выражается в виде степенного многочлена.

В простейшем случае в уравнение связи подставляются размерности входящих в него физических величин, и достигается размерная однородность. Соблюдение размерной однородности обеспечивает независимость уравнения от единиц измерения переменных, т.е. его инвариантность.

Рассмотрим случай ламинарного течения потока жидкости в прямой трубе. Допустим, что не зная закона, которому подчиняется движение жидкости в трубах, на основании практических данных запишем математическую зависимость между потерей напора на трение, вязкостью жидкости , ее плотностью , скоростью и размерами трубы d и l в следующем виде:

(1)

Размерность всех входящих в зависимость величин можно выразить с помощью трех основных переменных M, L и Q (масса, длина и время), а функцию общего вида (1) приближенно представить в виде степенной зависимости

(2)

где с – безразмерный постоянный коэффициент;

a,b,e,f,k – показатели степени.

Учитывая, что

Уравнение (2) можно записать в следующем виде

.

Группирую однородные члены, найдем

.

Приравняв показатели степени при одинаковых основных единицах, получим следующую систему уравнений

В системе из трех уравнений пять неизвестных. Следовательно, любые два из этих неизвестных можно выразить через три остальные, а именно b,e,f через а и к.

После подстановки показателей степени b,e,f в степенную функцию получим

, (3)

В критериальной форме, уравнение (3) будет иметь вид

.

Это уравнение описывает течение жидкости в трубе, в него входят: Критерий Эйлера , критерий Рейнольдса , и параметрический критерий геометрического подобия . Таким образом, .

Численные значения константы с и показателей степени а и к определяют экспериментально. Для ламинарного и установившегося режима течения жидкости по прямым трубам установлено, что

.

2 Гидромеханические процессы

2.1 Основные определения и основы гидравлики

Многие технологические процессы в промышленности связанны с движением жидкостей, газов или паров, перемещением в жидких средах, а также с разделением неоднородных смесей путем отстаивания, фильтрования и центрифугирования. Скорость всех указанных физических процессов определяется законами гидромеханики. Поэтому такие процессы называют гидромеханическими.

В гидравлике принято объединять жидкости, газы и пары под единым наименованием – жидкости. Это объясняется тем, что законы движения жидкостей и газов (паров) практически одинаковы, если их скорости значительно ниже скорости звука. Поэтому в дальнейшем жидкостями будут называться все вещества, обладающие текучестью при приложении к ним самых незначительных сил сдвига.

Общие законы равновесия и движения жидкостей выражаются обычно в виде дифференциальных уравнений получаемых на основе рассмотрения жидкости как сплошной однородной среды.

Считают, что свойством сплошности обладают и отдельные частицы жидкости, причем используемый в гидравлике термин «частица» относят не к микрочастицам, т.е. молекулам, а к макрочастицам. Такие частицы могут перемещаться относительно друг друга в потоке, но каждая из них движется как единое целое.

При выводе основных закономерностей в гидравлике, вводят понятие о гипотетической идеальной жидкости, которая в отличие от реальной вязкой жидкости, абсолютно несжимаема под действием давления, не изменяет плотности при изменении температуры и не обладает вязкостью.

Реальные жидкости делятся на капельные и упругие (газы или пары). Капельные жидкости практически несжимаемы и обладают очень малым коэффициентом объемного расширения. Объем упругих жидкостей сильно изменяется при изменении температуры или давления.