Раздел 2. Постулаты Эйнштейна − физические основы лазерной генерации света.

2.1 Постулаты Эйнштейна.

Основой физики лазеров, как науки в целом, есть явление индуцированного (вынужденного) излучения. Его существование было постулировано Альбертом Эйнштейном в 1916 году. Он допустил, что в квантовых системах с дискретными уровнями энергии, которыми являются атомы и молекулы, существуют три вида переходов между уровнями энергии: переходы, вынужденые электромагнитным полем; спонтанные (или самопроизвольные) переходы и безызлучательные релаксационные переходы.

Рассмотрим большое количество квантовых частиц − атомов (или молекул, но далее для краткости будем употреблять только один термин − атомы), которые находятся при температуре . Чтобы эта температура поддерживалась постоянно, мы их разместим в термостате, температура стенок которого также . Атомы в термостате будут обмениваться между собой энергией. Из курса общей физики известно, что распределение атомов по скоростям будет описываться распределением Максвелла, а по уровням энергии уравнением (распределением) Больцмана:

(2.1)

где и – число атомов в 1 см³ на основном 0-уровне и возбужденном і-уровне энергии, и – статистические веса атомных уровней, т.е. сколько подуровней имеет данный уровень. Величины и называют еще концентрациями или населенностью уровней. – энергия і-того уровня, она отсчитывается от основного уровня, – постоянная Больцмана.

Рис. 2-1. Уровни энергии в атоме.

Атомы в термостате обмениваются между собой не только кинетической энергией, но и потенциальной. То есть, атом, который находится в состоянии (на уровне) i – имеет потенциальную энергию , может перейти в другое состояние в результате взаимодействия со вторым атомом (при их столкновении), или в результате излучения кванта света. Если этот переход произойдет в результате столкновения с другим атомом, то этот второй атом может увеличить свою потенциальную энергию за счет энергии первого, как кинетической так и потенциальной, или же их потенциальная энергия может превратиться в кинетическую, т.е. их скорости увеличатся. Такие переходы называются релаксационными. Если же переходы произошли под действием излучения, то они называются вынужденными, или индуцированными. На рис. 2-2 вынужденые переходы обозначены: – переход с уровня 2 на уровень 1 с излучением кванта света с энергией ; – переход с уровня 1 на уровень 2. В этом случае атом увеличивает свою потенциальную энергию за счет поглощения одного кванта света из многих, которые есть в термостате.

Рис. 2-2.

А. Эйнштейн постулировал такие свойства вынужденного излучения:

1. Вероятность вынужденных переходов равна нулю только для излучения резонансной частоты, которая определяется соотношением:

(2.2)

Это уравнение является постулатом Бора.

2. Кванты электромагнитного поля, излучаемые при вынужденных переходах, тождественны квантам поля, вызвавших эти переходы, т.е. они совпадают по частоте, направлению распространения, фазе колебаний и поляризации.

3. Вероятность вынужденных переходов в единицу времени для одного атома пропорциональна плотности энергии внешнего поля в одиночном спектральном интервале , то есть:

(2.3)

где и − коэффициенты Эйнштейна для поглощенного и вынужденного излучения, соответственно.

Но если вероятность вынужденных переходов пропорциональна плотности поля, то возникает вопрос, откуда берется свет. Ведь мы знаем, что тела светятся не всегда, а лишь при определенных условиях. Поэтому необходимо допустить существование самопроизвольного (спонтанного) излучения, которое не зависит от плотности внешнего электромагнитного поля. И естественно, что кванты света этого излучения не будут согласованы по направлению, фазе, частоте и поляризации. Эти переходы на рис. 2.2 показаны вероятностью .

Для изучения свойств вынужденного и спонтанного излучения вернемся к ранее упомянутому количеству атомов в термостате. Найдем условия равновесия этого количества в поле его собственного излучения, которое излучается и поглощается при переходах между уровнями атомов. Рассмотрим переходы между уровнями 1 и 2, как показано на рис. 2.2. В термостате присутствует термодинамическое равновесие, то есть все процессы описываются одним значением температуры. В таких условиях атомы не тратят и не увеличивают энергию. Следовательно, в единицу времени происходит равное количество переходов как с верхнего уровня 2 на нижний 1, так и в обратном направлении. Общее число переходов определяется числом частиц на уровнях 1 и 2, т.е. населенность уровней. Подсчитаем количество переходов с 2→1 и с 1→2.

Вероятность спонтанного перехода одного атома из 2→1 пропорциональна времени:

где – коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода, т.е. скорость спонтанных переходов постоянна и равна , или

(2.4)

Количество переходов с 2→1 и 1→2 будет, соответственно, и и они должны быть равны. Используя (2.1), окончательно получим:

откуда следует, что плотность электромагнитного поля в термостате будет:

(2.5)

Эйнштейн постулировал, что излучение, возникающее при равновесных переходах между энергетическими уровнями квантовой системы в условиях термодинамического равновесия, описывается формулой Планка для равновесного излучения абсолютно черного тела:

(2.6)

где – скорость света.

Учитывая постулат Бора, , видим, что эти два соотношения (2.5) и (2.6) внешне похожи, а физически должны быть тождественны. Из сравнения знаменателей следует, что

   или (2.7)

то есть вынужденное излучение и поглощение равновероятны, а сравнение числительных дает:

                                или (2.8)

      Это соотношение показывает, что там, где нет спонтанного излучения, там нет и вынужденного и наоборот.