Лекция 4. Уравнения сохранения для потока смеси реагирующих газов

При количественном описаним (моделирование) процессов горения в общем случае необходим учет пространственного нестационарного течения смеси реагирующих газов. Для изучения таких процессов наиболее общей базой служит система законов сохранения массы, импульса и энергии. В данной лекции представлены вывод и вид нескольких форма этих законов (уравнений) для достаточно общих задач, а также изложение соотношений, представляюших отдельные частные физические эффекты, входящие в рассмотрение: химические реакции, конвективный и молекулярный перенос в форме диффузии, вязкости и теплопроводности.

Закон сохранения массы компонентов.

Вывод уравнений сохранения проведем для призвольного контнрольного объема (рис. 5). В начале выведем законы сохранения массы индивидуальных компонентов газовой смеси. Течение предполагаем пространственным и зависящим от времени, так что каждая входящая в уравнения искомая величина в общем случае зависит от (x, y, z, t).

Векторная величина плотности потка массы каждого из k компонентов смеси определяется как

, (4.1)

где – среднемассовая (конвективная) скорость движения смеси, учитываемая в уравнении движения, - диффузионная скорость данного компонента.

Рис. 4.1.

Условием сохранения массы компонента k в произвольном объеме V с учетом суммарного образования/исчезновения компонента k в химических реакциях является уравнение (здесь и ниже k = 1...K ):

(4.2)

Меняя порядок интегрирования и дифференцрования в правой части (4.2) и применяя формулу Остроградского-Гаусса о преобразовании поверхностного интеграла в объемный

(4.3)

получим

,

В силу произвольности объема V интеграл будет всегда равен нулю лишь при равенстве нулю подынтегрального выражения, поэтому

(4.4)

Выражения (4.2) и (4.4) есть, соответственно, интегральная и дифференциальная форма сохранения массы компонента k. Они выражают тот факт, что приращение массовой концентрации компоненнта в окрестности некоторой точки пространства-времени происходит как благодаря суммарному переносу молекул вследствие конвекции и диффузии, так и возникновению молекул данного компонента в химических реакциях.

Выделяя вектор плотности диффузионного потока компонента и вспоминая, что , легко преобразовать (4.4) к виду

(k = 1...K)

Применяя тензорную нотацию, в которой, в частности дивергенция вектора

кратко обозначается ,

получим «тензорную» форму уравнения сохранения массы компонента

(k = 1...K; j = 1, 2, 3)

Закон диффузии Фика. Плотность диффузионного потока массы при расчетах течений с химическими реакциями в общем случае должна определяться по методике, учитывающей диффузионные свойства смеси из K компонентов, что представляет собой сложную самостоятельную задачу.

Известно, что для задания плотности потока можно использовать закон диффузии Фика, устанавливающий пропорциональность и градиента плотности

, (4.5)

или, используя тензорные обозначения, где градиент скалярной величины

записывается как

можно написать:

, (4.6)

где D_k – коэффициент молекулярной диффузии компонента в точке. Использование (4.4) или (4.5) не добавляет ничего нового к определению , пока не будет указан способ расчета D_k.. Наряду с достаточно точными методиками учета многокомпонентной диффузии, применяются некоторые полезные приближенные представления. Так, расчет D_k в некоторых случаях проводится по величине коэффицента вязкости m и числа Шмидта, определяемого как отношение , которое, как и m, вычисляется в зависимости от средней молекулярной массы и температуры или же, как в простейших методиках, принимается постоянным.

Уравнение сохранения массы смеси. На диффузионные скорости наложено определяющее ограничение:

, (4.7)

которое выражает отсутствие среднего диффузионного потока массы и придает совершенно определенный смысл разложению (4.1) и определению среднемассовой скорости. Действительно, если просуммировать все уравнения сохранения массы для K компонентов

,

получим:

, (4.8)

т. е. уравнение сохранения массы смеси (с учетом взаимного уничтожения эффектов химических реакций при суммировании) имеет в этой постановке обычный вид, известный из курса МЖГ.

Закон сохранения количества движения смеси

Данное уравнение по виду полностью совпадает с аналогичным уравнением для однородного по составу газа из курса МЖГ, при условиях, что уравнение записано относительно плотности смеси и среднемассовой скорости и можно пренебречь потоками импульса при диффузии молекул (и световым давлением!).

Условие сохранения количества движения – величины векторной – записывается через перенос этой величины через воверхность F тензорной плотностью потока импульса. Последняя в тензорных обозначениях имеет вид:

, i, j = 1, 2, 3,

где индекс i соответстует компоненте количества движения, j – координатному направлению, в котором происходит перенос. Здесь – тензор напряжений, в котором

, где ,

и ­– тензор вязких напряжений, который выражается через коэффициент динамической вязкости и частные производные от компонент скорости так (закон вязкости Ньютона):

. (4.9)

Интегральное уравнение сохранения количество движения, с учетом возможного появления импульса массовых сил в объеме V, имеет вид:

, (4.10)

где – ускорение массовой силы для компонента k. Используя в дальнейшем в качестве массовой силу тяжести, для которой , а также, пользуясь определением операции дивергенции над тензором , результат которой – вектор

, j = 1, 2, 3,

и преобразуя интеграл по поверхности в интеграл по объему получим уравнение количества движения в виде:

(4.11)

В тензорных обозначениях (выписывая отдельно вязкие напряжения) получим:

,

или, в проекциях на оси прямоугольной системы координат:

,

, (4.11а)

.

Закон сохранения энергии для смеси

В законе сохранения энергии, используемом в теории горения, так же как в механике жидкости, рассматривается скорость изменения полной энергии (суммы внутренней и кинетической энергии смеси) заключенной в контрольном объеме в некоторый момент времени. Объемная плотность внутренней энергии (в Дж/(м³)) есть

где e – удельная внутренняя энергия смеси, в определение которой (в отличие от МЖГ), включается энтальпия образования входящих в нее компонентов:

, .

Вектор плотности потока энергии, действующего на поверхности контрольного объема задается выражением

, (4.12)

в котором учтены: конвективный перенос энтальпии смеси, суммарный эффект диффузионного переноса энтальпии индивидуальных компонентов, кондуктивный тепловой поток и работа вязких напряжений, приложенная к поверхности контрольного объема. Не учтены такие явления, как перенос энергии излучением (что представляет сложную задачу, решаемую как правило, с применением упрощенных подходов), перенос кинетической энергии при диффузии компонентов, эффекты баро- и термодиффузии. Однако часто указанными явлениями можно пренебречь, и действительно, в теоретических и расчетных исследованиях, как правило, пользуются определением (4.12) для вектора плотности потока энергии.

Таким, образом, отличие записи вектора потока энергии от известной из курса МЖГ лишь в том, что в случае смеси приходится учитывать нескомпенсированный перенос энтальпии (в том числе и энтальпии образования) различных компонентов молекулярной диффузией.

Плотность теплового потока может задаваться законом теплопроводности Фурье

(4.13)

или, в тензорных обозначениях: . Входящий в закон Фурье коэффициент теплопроводности смеси l должен рассчитываться исходя из молекулярно-кинетических свойств данной смеси при данных условиях. В приближенных подходах его величина оценивается с помощью числа Прандтля: (сравните с использованием числа Шмидта для оценки коэффициента диффузии).

При учете массовых сил следует учесть объемную мощность массовых сил при движении смеси в поле этих сил. Она задается выражением

, (или , при ).

Таким образом, интегральная форма уравнения энергии записывается в виде

, (4.14)

а дифференциальная:

(4.15)

В тензорных обозначениях:

. (4.16)

В развернутом виде:

(4.17)

Наиболее компактный вид системы законов сохранения получается, если ввести символическое обозначение для опреации/оператора пространственного дифференцирования – дивергенции скалярной, векторной и тензорной величин. В этих обозначениях система законов сохранения имеет вид:

Приведенные в данной лекции формы законов сохранения являются достаточно общими, чтобы являться базой для математического моделирования практически важных процессов. Путем преобразований и упрощений получаются другие формы записи законов сохранения, удобные в конкретных приложениях.

Вопросы для самоконтроля

1. Интегральная и дифференциальная формы закона сохранения массы компонента.

2. Закон Фика.

3. Число Шмидта Sc_k.

4. Закон сохранения массы смеси.

5. Интегральная и дифференциальная формы закона сохранения момента количества движения смеси.

6. Закон Ньютона.

7. Интегральная и дифференциальная формы закона сохранения энергии смеси.

8. Закон Фурье.

9. Число Прандтля Pr.

7