18.5. Методи математичного моделювання

Математичне моделювання - відтворення на спеціальних моде­лях гідрогеологічних об’єктів при виконанні тотожності рівнянь, що описують об’єкт і модель. Математичні моделі по принципу побудови і дії розділяються на аналогові та чисельні.

В аналогових моделях використовується безпосередня ана­логія між основними елементами об’єкту та моделі, наприклад, фільтраційному опорові шару ґрунту на електричній моделі відповідає ана­логічний електричний опір. Найбільше застосування мали методи гідравлічних і електродинамічних аналогій, які на сьогодні використо­вуються вкрай рідко.

Чисельні моделі представляють собою розв’язання дифе­ренціальних рівнянь, що описують процеси, які відбуваються на меліорованому об’єкті наближеними методами. При початкових і гра­ничних умовах виконується розв’язок диференційних рівнянь відносно напорів підземних вод за допомогою спеціальних програм на елек­тронно-обчислюваних машинах (ЕОМ) в кожному розрахунковому блоці дискретизованої області фільтрації.

Перед прогнозними розрахунками модель повинна бути ідентифікована, тобто ототожнена об’єкту-оригіналу. Геофільтраційні моделі меліоративних об’єктів відносяться до параметричних моделей в просторі станів. Тому для її побудови необхідні експериментальні дослідження по вивченню параметрів і розв’язок задач для їх оцінки. Початкової, апріорної інформації недостатньо, а отримання параметрів і початкових значень основних змінних в натурі важке, тому в процесі функціонування об’єкту модель уточнюється, тобто система повинна бути з прямим і зворотнім зв’язком. Цьому сприяє стадійність в проекту­ванні будівництва і в гідрогеологічних дослідженнях на меліоративних об’єктах.

Побудова моделі зводиться до таких етапів:

• вибір типу, якості і структури моделі;

• аналіз і апроксимація початкової інформації;

• ідентифікація моделі;

• використання і адаптація моделі.

Тип (статистична або динамічна) і якість моделі вибираються в залежності від існуючих гідрогеологічних умов і мети розв’язуваної інженерної задачі. Якщо параметри, граничні умови, вхідні та вихідні дані не змінюються в часі, або їх зміною можна знехтувати, а розв’язок інженерної задачі потребує граничної оцінки, то модель може будуватися статичною. Якщо вказані фактори змінюються в часі, а розв’язок інженерної задачі потребує розгляду процесу в часі, то модель повинна будуватися динамічною.

Якість моделі визначається достовірністю, детальністю і точністю її побудови.

Достовірність моделі визначають за її геологогідрологічною відповідністю досліджуваному об’єкту. Кількісно вона оцінюється по­хибкою в побудові моделі .

Під детальністю моделі розуміють докладність, з якою відображується область фільтрації та досліджувані процеси, тобто фільтраційні, потенціальні і водно-балансові поля. Детальність моделі визначається її масштабом і кількістю розрахункових блоків, зв’язана з детальністю картування розглянутої території. Тому масштаб моделі виби­рають відповідним до масштабу зйомки, а крок розрахункової сітки - до картировочної сітки виробок.

Точність побудови моделі містить в собі похибку за рахунок недостатньої гідрогеологічної достовірності і за рахунок технічної реалізації моделі , часто її визначають за формулою

. (18.43)

Точність прогнозного розв’язку визначається загальною по­хибкою побудови моделі і похибкою - задання факторів прогнозу , тобто вплив на підземні води, що проектуються

. (18.44)

Модель повинна забезпечувати необхідну точність розв’язку інженерної задачі, яку вимагає замовник приймається з практики або за критерієм мінімальних збитків від помилок в прогнозних розмірах площі дренування і затрат на виконання пошукових робіт , не­обхідних для уточнення моделі та прогнозних розрахунків

. (18.45)

За дослідженнями виконаними в інституті «Укрводпроект» Держводгоспу України необхідно орієнтуватися на такі значення допустимих середньоквадратичних похибок у визна­ченні прогнозних площ дренажу на стадії ТЕО - 16 %, проект - 12 %, робочої документації - 6 %.

Структуру моделі (просторові межі, шаруватість, ступінь дис­кретизації) вибирають, виходячи із схематизованих гідрогеологічних умов технічних засобів, мети і потрібної точності вирішення інженерної задачі.

Часто використовують кінцево-різницевий метод роз­в’яз­ку дифе­ренційних рівнянь, які описують фільтрацію в модельній області. В зв’язку з цим виконують дискретизацію області фільтрації прямокутною рівномірною або нерівномірною сіткою. Застосовують також метод скінчених елементів, при якому дискретні елементи можуть мати три­кутну або трапецеїдальну форму, які більш точно апроксимують поверхню підземних вод. Однак, з використанням цього методу виникають про­блеми при моделюванні багатошарових систем.

Крок дискретизації вибирають таким, щоб втілити в моделі регіональну мінливість фільтраційних та інших властивостей області фільтрації, інтенсивності інфільтраційного і вертикального глибинного водообміну, а також в межах розрахункових блоків з допустимою по­хибкою апроксимувати природні прогнозні поверхні рівня підземних вод та воднобалансові поля, врахувати з максимальною повнотою існуючу і яка проектується мережу спостережних свердловин та балансові ділянки. В умовах шаруватих систем максимальний розмір розрахунко­вих блоків в просторових напрямках визначають за формулою

, (18.46)

де , - потужність і коефіцієнт фільтрації першого від по­верхні землі розділяючого шару;

- найменше значення водо­провідності водоносних горизонтів.

Аналізу піддаються всі параметри, які беруть участь в побу­дові моделі:

• гіпсометричні поверхні;

• потужності, фільтраційні і во­довміщуючі властивості водоносних шарів і розділяючих їх слабопро­никливих шарів;

• поверхні рівня підземних вод та їх динаміка;

• інфільтраційне живлення та випаровування ґрунтових вод;

• джерела живлення і розвантаження підземних вод та їх динаміка.

В результаті гідрогеологічних досліджень стає відомо про пара­метри тільки в окремих точках, а тому виконують їх апроксимацію по площі в межах однорідних геологолітологічних районів.

Спочатку за характером мінливості параметру вибирають найкращий спосіб його апроксимації, або для апроксимації мінливості застосовують два різних способи, зрівнюючи їх по ефективності. Для подальшого опрацювання приймається той, який дає найменшу по­хибку.

Для ідентифікації моделі вибирають період, протягом якого інфільтраційне живлення близьке до постійного, або відсутнє. Цей період ділять на дві або декілька частин. За першу частину про­водиться оцінка і ув’язка параметрів, а за останніми - діагностична перевірка шляхом розв’язку прямих задач. Модель вважається ідентифікованою задовільно, якщо модельовані рівні для кожного інтервалу часу близькі в загальноприйнятому розумінні до тих, що в на­турі.

Якщо інфільтраційне живлення змінне в часі, то на наступних періодах розв’язуються обернені задачі для оцінки інфільтраційного живлення, яке потім порівнюється з оцінками, викона­ними іншими методами (аналізом метеоумов, режиму зрошення, водно-балансовими розрахунками, натурними дослідженнями, моделюванням вологопереносу в зоні аерації).

На ідентифікованій моделі виконують прогнозні розрахунки впливу заходів, що проектуються на зміну гідродинамічних умов і оцінюють точність прогнозних розрахунків. Прогнозні розрахунки ви­конуються за допомогою відповідних обчислювальних програм. Краще використовувати програми з неявною схемою розв’язку диференційних рівнянь, яка не накладає обмежень за відношення кроку дискретизації в часі і по координатних осях.

Якщо точність прогнозу не задовольняє, то виконують додат­кові польові дослідження для уточнення параметрів і їх розподілу для зменшення похибки їх апроксимації. Особливо це стосується параметрів, які найбільш сильно впливають на результати розрахунків. Після отримання додаткової інформації модель корегується і прогнозні розра­хунки повторюються.

В процесі проектування від ТЕО до робочої документації існує необхідність в більш точних прогнозних розрахунках, що обумовлює не­обхідність адаптації моделі, яка продовжується також в період експлуа­тації меліоративних систем. Оправдано будувати меліоративні об’єкти за чергами. На підставі режим­них спостережень за рівнями підземних вод в процесі експлуатації вирішують обернені задачі по визначенню фактичних фільтраційних втрат і блокових провідностей меліоративних об’єктів, які аналізуються і враховуються в процесі проектування наступних черг при управлінні експлуатацією, а також при обґрунтуванні реконструкції.