Бета-функция и ее варианты (эйлеров интеграл первого рода)

Бета-функция определяется как несобственный интеграл, зависящий от двух параметров х, у.

Неполная бета-функция определяется по формуле:

При практических расчётах бета-функция наиболее часто вычисляется через гамма-функцию:

• beta(х, у) — возвращает бета-функцию для соответствующих элементов комплексных массивов х, у. Массивы должны быть одинакового размера (или одна из величин может быть скаляром).

• betainc ( z , x, y) — возвращает неполную бета-функцию. Элементы z должны быть в закрытом интервале [0, 1].

• betaln (х, у) — возвращает натуральный логарифм бета-функции log ( beta (х, у) ) , без вычисления beta(x, y). Так как сама бета-функция может принимать очень большие или очень малые значения, функция betaln(x, y) иногда более полезна, так как позволяет избежать переполнения.

Пример:

» format rat;beta((l:10)⁴,4)

ans= 1/4 1/20 1/60 1/140 1/280 1/504 1/840 1/1320 1/1980 1/2860

>> x=[1:10];y=[1:10];beta(x,y)

ans = 1 1/6 1/30 1/140 1/630 1/2772

1/12012 1/51480 1/218790 1/923780

Функции Эйри

Функции Эйри (airy) формируют пару линейно-независимых решений линейного дифференциального уравнения следующего вида.

Существуют два вида функции Эйри – первого и второго рода.

Функция первого рода Ai(x,n) при х = 0 имеет вид: ,

в противном случае , где

Функция второго рода Bi(x,n) при х = 0 имеет вид:

в противном случае , где

Функции Эйри в системе MATLAB задаются следующим образом:

w=airy (z) — функция Эйри первого порядка;

w=airy(k_,z) — результат зависит от значений k: при k = 1 возвращается производная функции Эйри первого рода; при k = 2 возвращается функция Эйри второго рода; при k = 3 возвращается производная функции Эйри второго рода;

[w,ierr] = airy(k,z) — во втором выходном аргументе возвращается информация о вычислении значений функции Эйри (ierr = 0 — функция Эйри успешно вычислена; i e r r = l — неверно заданы входные аргументы; ierr = 2 — переполнение, ответ равен Inf; ierr = 3 — частичная потеря точности при вычислениях; ierr = 4 — полная потеря точности при вычислениях, так как z слишком большое; ierr = 5 — вычислительный процесс не сходится, результат будет NaN).

В системе MATLAB функции Эйри вычисляются при одном фиксированном значении суммы ряда n.

>> y=[0,3.2,-3.2,2+3i];

>> airy(y)

ans = 0.3550 0.0046 -0.4174 + 0.0000i 0.0081 + 0.1312i

>> airy(0,y)

ans = 0.3550 0.0046 -0.4174 + 0.0000i 0.0081 + 0.1312i

>> airy(1,y)

ans = -0.2588 -0.0085 0.0650 - 0.0000i 0.0967 - 0.2320i

>> airy(2,y)

ans = 0.6149 19.5870 -0.0539 + 0.0000i -0.3964 - 0.5697i

>> airy(3,y)

ans = 0.4483 33.2577 -0.7541 + 0.0000i 0.3495 - 1.1053i

Функции Бесселя

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида ,где v — неотрицательная константа, называется уравнением Бесселя. Решения этого уравнения называются функциями Бесселя.

Функции J_v(х) и J__v(х) формируют фундаментальное множество решений уравнения Бесселя для неотрицательных значений п (это так называемые функции Бесселя первого рода индекса v: , где - гамма-функция.

В случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя имеет вид:

• besselj(v,X) — возвращает функцию Бесселя первого рода, J_v(x), для каждого элемента комплексного массива X. Порядок v может не быть целым, однако должен быть вещественным. Аргумент X может быть комплексным. Результат вещественный, если X положительно. Если v и X — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если любая входная величина — скаляр, результат расширяется до размера другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции. .

Второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от J_v(z), определяется как и задает функции Бесселя второго рода Y_v(z): .

Функции Бесселя третьего рода (функции Ханкеля) и функция Бесселя первого и второго рода связаны следующим выражением:

• bessely(v, X) — возвращает функцию Бесселя второго рода, Y_v(x). Выражениях Х – массив чисел, которые могут быть вещественными и комплексными, v – порядок массива, является числом вещественным, положительным.

• [J.ierr] = besse1j(nu,Z) и [Y.ierr] = bessely(v, X) функции всегда возвращают массив с флагами ошибок:

  • ierr = 1 — запрещенные аргументы;

  • ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

  • ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

  • ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

  • ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

Примеры:

» S=[2-51.4.7];T=[8.l.3]:g=besselj(T.S)

g= 0.1114-0.05081 -0.0660 -0.1676 

» S-[2-5i,4.7];T=[8.1.3J;[g.ierr]=bessely(T.S) 

g= 0.1871 - 0.03241 0.3979 0.2681 

ierr = 0 0 0

• besselh(v, К, Z) — для К=1 или 2 возвращает функцию Бесселя третьего рода (функцию Ханкеля) для каждого элемента комплексного массива Z. Если nu и Z — массивы одинакового размера, то результат имеет тот же размер. Если одна из входных величин — скаляр, результат формируется по размеру другой входной величины. Если одна входная величина — вектор-строка, а другая — вектор-столбец, результат представляет собой двумерный массив значений функции.

• besselh(v, Z) — использует по умолчанию К = 1. 

• besselh(v, l, Z, l) — масштабирует H⁽¹⁾_v(z) с коэффициентом exp(-i*z). 

• besse1h(v, 2, Z, l) — масштабирует H⁽²⁾_v(z) с коэффициентом exp(+i*z). 

• [H.ierr] = besselhC...) — всегда возвращает массив с флагами ошибок:

  • ierr = 1 — запрещенные аргументы;

  • ierr = 2 — переполнение (возвращает Inf);

  • ierr = 3 — некоторая потеря точности при приведении аргумента;

  • ierr = 4 — недопустимая потеря точности: Z или nu слишком велики;

  • ierr = 5 — нет сходимости (возвращает NaN).

 Пример: Решить уравнение .

Решение: Заданное уравнение является уравнением Бесселя индекса , поэтому его решение будет

>> syms C1 C2; y=C1*besselj(1/2,x)+C2*besselj(-1/2,x)

y =C1*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)+C2*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*cos(x)

>> simplify(y)

ans =2^(1/2)*(C1*sin(x)+C2*cos(x))/pi^(1/2)/x^(1/2)

>> pretty(ans)

Ответ:

Построение:

>> for C1=1:5:20

for C2=2:3:12

y =C1*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x)+C2*2^(1/2)/pi^(1/2)/x^(1/2)*cos(x);

ezplot(y)

hold on

end

end

Рис. График множества решений уравнения Бесселя

Пример: построить функции

>> x=0:0.1:10;

>> y0=besselj(0,x);y1=besselj(1,x);y2=besselj(2,x);y3=besselj(3,x);

>> plot(x,y0,'-m',x,y1,'--r',x,y2,'-.k',x,y3,':b')

>> legend('besselj(0,x)', 'besselj(l,x)' ,'besse1j(2,x)',' (besselj(3,x)');

Рис. Графики четырех функций Бесселя besselj(n,x)

Эти графики дают наглядное представление о поведении функций Бесселя, широко используемых при анализе поведения систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. 

Связь между функцией Эйри и модифицированной функцией Бесселя выражается следующей формулой:

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

* электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

* теплопроводность в цилиндрических объектах;

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.