1.4 Выбор математического аппарата

Разрабатываемое программное средство по автоматизации обслуживания заявок пользователей локальной вычислительной сети филиала РГУ нефти и газа имени И.М.Губкина в г. Оренбурге будет осуществлять работу с базой данных пользователей и отправку заявок на обслуживание компьютерной оргтехники по локальной сети.

Для оценки выполнения или не выполнения заявок необходимо проводить исследования, результатами которых будут параметры, характеризующие состояния заявок. На основе этих параметров можно построить модель исследования и провести прогнозирование значений параметров для последующих значений времени. Для этого используем регрессионный метод.

Для построения нелинейных регрессионных моделей с автоматическим выбором степени аппроксимирующих полиномов в настоящей главе рассматривается ступенчатый регрессионный метод.

Первым этапом исследования многопараметрических процессов является отбор параметров, ответственных за процесс. Из полного списка всех возможных параметров ранговыми методами производят их ранжирование и априорное отсеивание [3].

Математическая обработка результатов наблюдения за оставленными на первом этапе исследования параметрами включает в себя проверку гипотезы о нормальности распределения результатов наблюдения в выборке по каждому параметру, получение корреляционной матрицы и регрессионный анализ.

Обработку целесообразно вести, производя предварительно центрирование и нормирование результатов наблюдений, т. е. переходя к стандартизованным переменным.

При решении задач, связанных с отысканием оптимальных условий протекания сложных многопараметрических процессов, широкое распространение получили полиномиальные математические модели процесса

(1.1)

где y – параметр оптимизации;

b₀,b_i,b_ij,b_ii – выборочные коэффициенты регрессии, полученные по результатам эксперимента;

, – параметры и их взаимодействия, i,j=1,2…

Теоретически коэффициенты уравнения регрессии можно определить из системы линейных нормальных уравнений, используя метод наименьших квадратов относительно этих коэффициентов.

Однако для вычисления коэффициентов уравнений регрессии многопараметрических процессов (m>2) и высокого порядка полинома (К>2) система нормальных уравнений практически оказывается малопригодной ввиду большой потери точности при ее решении (причем потеря точности сказывается тем сильнее, чем больше количество переменных и выше порядок полинома). Не решенным остается и вопрос оптимального порядка полинома.

Упрощенный метод определения коэффициентов уравнения регрессии (1.1) предложен в работе Д. Брандона.

Этот метод заключается в том, что уравнение (1.1) записывается в виде

(1.2)

где – любая функция величины .

В случае нелинейной зависимости вид функции определяется с помощью корреляционного поля, потом по виду определяется тип зависимости и способом наименьших квадратов рассчитываются коэффициенты.

При числе параметров более трех и порядка полиномов более второго уравнение (1.2) становится весьма громоздким и малоэффективным в использовании, оно излишне перегружено суммой произведений различных комбинаций факторов. Поэтому был разработан упрощенный метод описания многофакторных процессов.

Рассмотрим алгоритм метода.

Точность математического описания в конечном итоге определяет коэффициент детерминации. Приемлемым может быть тот алгоритм описания, который позволяет получить аппроксимирующую функцию процесса с удовлетворительной предсказательной способностью (т. е. если коэффициент детерминации более 0,8).

Более удобным в данном случае может оказаться метод так называемого “последовательного разглаживания гиперповерхности отклика”. Идея этого метода заключается в последовательном снятии эффектов всех переменных полиномиального уравнения (1.1).

В основу положен ступенчатый регрессионный метод при множественной линейной регрессии [4].

В этом случае уравнение (1.1) можно записать в виде

(1.3)

где – полиномы возрастающих степеней переменной .

Перед вычислением полиномов _j необходимо проводить предварительное ранжирование переменных по степени влияния их на параметр оптимизации y.

Начинать вычисление полинома нужно для наиболее сильно влияющей переменной. Расчет коэффициентов полинома и оптимальный порядок его целесообразно производить, используя ортогональные многочлены Чебышева [5,6].

Путь задан процесс в виде матрицы наблюдений

где m – число независимых параметров;

n – число наблюдений;

y – зависимый параметр;

– матрица наблюдений независимых параметров.

Последовательно для всех пар массивов y - , y - ,..., y - вычислить остаточную дисперсию , ,..., , характеризующую степень влияния независимого параметра на зависимый y.

Для этого воспользуемся ортогональными многочленами Чебышева.

Искомая зависимость условного среднего y от Х_j имеет вид

(1.4)

где – ортогональный многочлен Чебышева k-го порядка;

– полином нулевой степени.

Общая дисперсия вычисляется по формуле

(1.5)

где

.

Остаточная дисперсия определяется по формуле

где k =1.

Если , где — табличное значение для распределения Фишера, то осуществляется переход к следующему j.

Иначе и переход к следующим вычислениям.

Вычисляем ортогональный многочлен Чебышева k-го порядка

(1.6)

где

Если , то запоминается , иначе k=k+1 и возврат к предыдущим вычислениям и так до тех пор, пока для всех j=1,2,...,m.

Выбрать из всех минимальное, где j=1,2,...,m.

Если минимальных остаточных дисперсий получится несколько равных между собой, то выбрать последнюю при переборе.

Если =D_n,начальной промежуточной дисперсии, то конец решения. Иначе перейти к следующим вычислениям.

Произвести как бы разглаживание поверхностей отклика в направлении переменной Х_j, вычитая из выборочных значений y_i величины, рассчитанные по _j(X_j).

Сформировать массив по формуле

Заменить в матрице наблюдений массив y_i на y_1i.

Повторить вычисления сначала и до конца для матрицы наблюдений с учетом замененных массивов y_i на y_1i до тех пор, пока последняя остаточная дисперсия = уменьшится в r раз по сравнению с начальной общей дисперсией величины y.

Такая процедура продолжается до тех пор, пока не будет осуществлено элиминирование всех переменных.

В общем математическую модель можно представить в виде работы дискретного автомата, графическая интерпретация которого показана на рисунке 1.3

Заявка Состояние заявки

Рисунок 1.3 – Математическая модель в виде дискретного автомата

Каждая заявка может иметь четыре состояния: 1 – не выполнена, 2 – в работе, 3 – выполнена, 4 – удалена. Значение состояния «не выполнена» на выходе дискретного автомата будет равно 0 (х₁=0), состояния «в работе» – , состояния «выполнена» – х₃=1, состояния «удалена» – .

Данная модель будет описываться полиномом четвертой степени