2.2.2 Случай одномерных подпространств k и l

Наиболее простой ситуацией является случай, когда пространства K и L одномерны. Пусть K и L подпространства являющиеся множествами векторов представимых в виде линейной комбинации векторов {₁, ₂,…} и {₁, ₂,…} т.е. K=span{} и L=span{}. Тогда (2.17) принимает вид

xk+1=xk+kk,

(2.18)

причем коэффициент _k легко находится из условия ортогональности r_k–A(_k_k)  _k:

(rk–Akk, k)=(rk, k)–k(Ak, k)=0,

откуда _k=(r_k, _k)/(A_k, _k).

Если выбрать _k=_k=r_k, тогда (2.18) принимает вид

xk+1=xk+rk(rk, rk)/(Ark, rk).

(2.19)

Поскольку выражение в знаменателе представляет собой квадратичную форму r_k^TAr_k, сходимость процесса гарантирована, если матрица A является симметричной и положительно определенной. Данный метод называется методом наискорейшего спуска. В практических задачах метод наискорейшего спуска обладает достаточно медленной сходимостью.

При выборе _k=A^Tr_k и _k=A_k формула (2.18) примет вид

xk=1=xk+ATrk(rk, AATrk)/(AATrk, AATrk)= =xk+ATrk(ATrk, ATrk)/(ATAATrk, ATrk).

(2.20)

Данный метод называется методом наискорейшего уменьшения невязки; условием его сходимости является невырожденность матрицы A. Сравнивая (2.19) и (2.20), нетрудно убедится, что метод наискорейшего уменьшения невязки совпадает с методом наискорейшего спуска, примененным к системе A^TAx=A^Tb.

Если положить K=L и на различных итерациях в качестве вектора _k циклически с повторением выбирать единичные орты e₁, e₂,…,e_N, e₁,…то получится рассмотренный ранее метод Гаусса-Зейделя (обратный порядок выбора соответствует обратному методу Гаусса-Зейделя).

Выбор на k-й итерации _k=_k=A^Te_k дает, так называемый, ABS-класс методов. Чтобы для различных итераций выполнилось условие K_i  K_j, возможно либо хранение всех _k с их ортогонализацией по мере нахождения (схема Хуанга), либо пересчет матрицы A (схема Абрамова). Первый вариант ведет к увеличению расходов памяти для реализации алгоритма, второй – к изменению заполненности матрицы. Следовательно, данные методы пригодны лишь для решения небольших систем; с другой стороны, их единственным условием сходимости является существование решения как такового, а потому данный класс пригоден для СЛАУ с вырожденными и неквадратными матрицами. Непосредственно из определения векторов _k следует, что в данных методах на k-й итерации поправка к решению вычисляется из условия обращения k-го уравнения в тождество. Если предполагать, что матрица A квадратная и невырожденная, вычислительная схема имеет следующий вид (вариант с пересчетом матрицы, метод ABR1ORT):

Алгоритм метода ABR1ORT

Выполнять для i=1,…, N

Выполнять для j=i+1,…, N

aj*=aj*–ai*

bj=bj–bi

увеличить j

увеличить i

Пример использования метода ABR1ORT в системе TALGAT:

- действительный случай: SET "solve" ABR1ORT_r real_m right_r;

- комплексный случай: SET "solve" ABR1ORT complex_m right_c;