2.1.2 Ускорение сходимости релаксационных методов

Скорость сходимости методов, основанных на расщеплении, непосредственно связана со спектральным радиусом матрицы K^–1R; с другой стороны, выбор K ограничен требованием легкой обратимости. Одним из распространенных способов улучшения сходимости является введение параметра. Пусть – некоторое вещественное число. Рассмотрим вместо системы (1.1) масштабированную систему

Ax=b,

(2.10)

и вместо (2.1) воспользуемся представлением

A=(D–E)–(F+(1–)D),

(2.11)

где матрицы D, E, F имеют тот же смысл, что и в (2.1).

Тогда на основании (2.10) и (2.11) можно построить итерационную схему, похожую на метод Гаусса-Зейделя,

(D–E)xk+1=(F+(1–)D)xk+b.

(2.12)

Схема (2.18) называется методом последовательной верхней релаксации (SOR). Для нее

KSOR()=D–E RSOR()=F+(1–)D.

Выбор параметра , минимизирующего спектральный радиус является, вообще говоря, достаточно сложной проблемой. Однако для многих классов матриц такая задача исследована и оптимальные значения  известны.

Выражение (2.11) остается тождеством, если в нем поменять местами матрицы E и F. Такая перестановка дает обратный метод последовательной верхней релаксации:

(D–F)xk+1=[E+(1–)D]xk+b.

Последовательное применение прямого и обратного методов SOR дает симметричный метод последовательной верхней релаксации (SSOR)

(D–E)xk+1/2=[F+(1–)D]xk+b; (D–F)xk+1=[E+(1–)D]xk+1/2+b.

2.2 Проекционные методы и подпространства Крылова

2.2.1 Общий подход к построению проекционных методов

Рассмотрим систему (1.1) и сформируем для нее следующую задачу. Пусть заданы некоторые два подпространства K R^N и L R^N. Требуется найти такой вектор xK, который обеспечивал бы решение исходной системы, «оптимальное относительно подпространства L», т.е. чтобы выполнялось условие

l L: (Ax, l)=(b, l),

называемое условием Петрова-Галеркина. Сгруппировав обе части равенства по свойствам скалярного произведения и заметив, что b–Ax=r_x, это условие можно переписать в виде

l L: (rx, l)=0,

(2.13)

т.е. r_x=b–Ax  L. Такая задача называется задачей проектирования x на подпространство K ортогонально к подпространству L.

В более общей постановке задача выглядит следующим образом. Для исходной системы (1.1) известно некоторое приближение x₀ к решению x_*. Требуется уточнить его поправку _x K таким образом, чтобы b–A(x₀+_x)  L. Условие Петрова-Галеркина в этом случае можно записать в виде

l L: (rx0+x, l)=((b–Ax0)–Ax, l)=(r0–Ax, l)=0.

Пусть dimK=dimL=m (где dim – размер подпространств). Введем в подпространство K и L базисы и соответственно. Нетрудно видеть, что (2.19) выполняется тогда и только тогда, когда

j(1jm): (r0–Ax,j)=0.

(2.14)

При введении для базисов матричных обозначений V=|₁|₂| |_m| и W=|₁|₂| |_m| можно записать _x=Vy где y R^m– вектор коэффициентов. Тогда (2.14) может быть записано в виде

WT(r0–AVy)=0,

(2.15)

откуда W^TAVy=W^Tr₀ и

y=(WTAV)–1WTr0.

(2.16)

Таким образом, решение должно уточняться в соответствии с формулой

x1=x0+V(WTAV)–1WTr0,

(2.17)

из которой сразу вытекает важное требование: в практических реализациях проекционных методов подпространства и их базисы должны выбираться, так чтобы W^TAV либо была малой размерности, либо имела простую структуру, удобную для обращения.

Из (2.15) также вытекает соотношение

Vy=A–1r0=A–1(b–Ax0)=x*–x0,

т.е. Vy=_x представляет собой проекцию на подпространство K разности между точным решением и начальным приближением.

Пусть имеется набор пар подпространств таких, что K₁ K₂… K_q=R^N и L₁ L₂… L_q=R^N (запись K  L обозначает симметричную разность множеств K и L, т.е. элемент принадлежит K  L, если он находится либо в K, либо в L, но не в пересечении K и L, т.е. K  L = K  L – K  L). Тогда очевидно, что последовательное применение описанного ранее процесса ко всем таким парам приведет к решению x_q, удовлетворяющему исходной системе Ax=b. Соответственно, в общем, виде алгоритм любого метода проекционного класса может быть записан следующим образом:

Начало

Выбор пары подпространств K и L

Построение для K и L базисов V=|1|2| |m| и W=|1|2| |m|

r=b–Ax

y=(WTAV)–1WTr

x=x+Vy

Продолжать до достижения сходимости