2.4.4 Метод квази-минимальных невязок

Если необходимо построить матрицу предобусловливателя M

Выбрать начальное приближение x⁽⁰⁾

r⁽⁰⁾ = b – A x⁽⁰⁾

_{= r}⁽⁰⁾

Найти y из системы M₁ y =

₁ = ||y||₂

z =

= ||z||₂

₀ = 1; ₀ = – 1

Для i = 1, 2, … до сходимости или до N_it^max

Если _i = 0 или _i = 0

то метод не может решить данную систему

_v⁽ⁱ⁾ = / _i; y = y / _i

_⁽ⁱ⁾ ₌ /_i; z = z / _i

_i = (z, y)

Если _i = 0

то метод не может решить данную систему

Найти из системы M₂ = y

Найти из системы = z

Если i = 1

p⁽¹⁾ = ; q⁽¹⁾ =

Иначе

p⁽ⁱ⁾ = – (_i _i / _{i – 1}) p^(i–1)

q⁽ⁱ⁾ = – (_i _i / _{i –1}) q^(i–1)

= A p⁽ⁱ⁾

_i = (q⁽ⁱ⁾, )

Если _i = 0

то метод не может решить данную систему

_i = _i / _i

Если _i = 0

то метод не может решить данную систему

= – _i

Найти y из системы M₁y =

_i+1 = ||y||₂

= A^Tq⁽ⁱ⁾ – _i

Найти z из системы z =

_i+1 = ||z||₂

_i = _i+1 / (_i |_i|)

= 1 /

Если = 0

то метод не может решить данную систему

= – /

Если i = 1

d⁽¹⁾ = p⁽¹⁾; s⁽¹⁾ =

Иначе

= p⁽ⁱ⁾ +

=

x⁽ⁱ⁾ =x^(i–1) + d⁽ⁱ⁾

r⁽ⁱ⁾ = r^(i–1) – s⁽ⁱ⁾

Если ||r||₂ / ||r⁽⁰⁾||₂  tol

то КОНЕЦ (x⁽ⁱ⁾ – полученное решение)

увеличить i

Если необходимо построить матрицу предобусловливателя M

Выбрать начальное приближение x⁽⁰⁾

r⁽⁰⁾ = b – A x⁽⁰⁾

Выбрать вектор , удовлетворяющий условию (r⁽⁰⁾, )  0 (например, = r⁽⁰⁾)

Для i = 1, 2, … до сходимости или до N_it^max

_i–1 = ( , r^{(i – 1)})

Если _i–1 = 0

то метод не может решить данную систему

Если i = 1

u⁽¹⁾ = r⁽⁰⁾

p⁽¹⁾ = u⁽¹⁾

Иначе

_i–1 = (_i–1 / _i–2)

u⁽ⁱ⁾ = r^(i–1) + _i–1q^(i–1)

p⁽ⁱ⁾ = u⁽ⁱ⁾ + _i–1(q^(i–1) + _i–1p^(i–1))

Найти из системы M = p⁽ⁱ⁾

= A

_i = _i–1 / ( , )

q⁽ⁱ⁾ = u⁽ⁱ⁾ – _i

Найти из системы M = u⁽ⁱ⁾ + q⁽ⁱ⁾

x⁽ⁱ⁾ =x^{(i – 1)} +_i

= A

r⁽ⁱ⁾ = r^{(i – 1)} – _i

Если ||r||₂ / ||r⁽⁰⁾||₂  tol

то КОНЕЦ (x⁽ⁱ⁾ – полученное решение)

увеличить i