57

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

(ТУСУР)

Кафедра телевидения и управления

(ТУ)

УТВЕРЖДАЮ

Заведующий кафедрой ТУ, профессор

_________________И.Н. Пустынский

«______»___________________2012 г.

Использование методов решения СЛАУ

Учебное методическое пособие

РАЗРАБОТАЛ

_________ С.П. Куксенко

___________ Т.Р. Газизов

«______»_________2012 г.

2012

Куксенко С.П., Газизов Т.Р. Использование методов решения СЛАУ: Учебное методическое пособие. – Томск: кафедра ТУ, ТУСУР, 2012. – 57 с.

В первой части работы приведены теоретические основы прямых методов решения СЛАУ. Во второй части подробно рассмотрены итерационные методы решения СЛАУ.

Работа предназначена для студентов, которые проходят групповое проектное обучение по направлению «Электромагнитная совместимость». Она может быть полезной при выполнении курсовых и дипломных работ, а также в проведении научных исследований инженерами и аспирантами с использованием системы моделирования электромагнитной совместимости. Материалы работы могут быть использованы в лекционных курсах по дисциплинам, связанным с вычислительной математикой.

© Куксенко С.П., Газизов Т.Р., 2012

© Кафедра телевидения и управления, ТУСУР, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Прямые (точные) методы 7

1.1 Метод исключения Гаусса 7

1.2 LU–разложение матриц 11

1.3 Решение СЛАУ с помощью LU-разложения матриц 14

1.4 Обращение матриц 17

1.5 Метод исключения Жордана (Гаусса – Жордана) 17

1.6 Контроль точности и уточнение приближенного решения в рамках прямого метода 19

1.7 Вычислительные затраты прямых методов 22

2. Итерационные методы 22

2.1 Классические итерационные методы и релаксация 23

2.1.1 Методы Якоби и Гаусса-Зейделя 24

2.1.2 Ускорение сходимости релаксационных методов 25

2.2 Проекционные методы и подпространства Крылова 27

2.2.1 Общий подход к построению проекционных методов 27

2.2.2 Случай одномерных подпространств K и L 29

2.2.3 Два выбора подпространств 31

2.2.4 Подпространства Крылова 32

2.2.5 Базис подпространства Крылова. Ортогонализация Арнольди 33

2.2.5 Биортогонализация Ланцоша 36

2.3 Предобусловливание 38

2.3.1 Предобусловливание основанное на классических методах 40

2.3.2 Неполное LU-разложение 41

2.3.3 Выбор структуры разреженности 43

2.4 Методы Крыловского типа 44

2.4.1 Метод обобщенных минимальных невязок 45

2.4.2 Метод бисопряженных градиентов 49

2.4.3 Стабилизированный метод бисопряженных градиентов 51

2.4.4 Метод квази-минимальных невязок 53

2.2.5 Квадратичный метод сопряженных градиентов 55

2.2.6 Метод сопряженных градентов 56

Введение

Необходимость в решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) возникает при использовании широкого класса моделей и подходов, используемых при проектировании и разработке аппаратуры для учета требований электромагнитной совместимости (ЭМС). Подобного рода учет становится все более актуальным ввиду ряда причин: усложняющаяся электромагнитная (ЭМ) обстановка, постоянно увеличивающееся количество используемых радиоэлектронных средств и радиоэлектронной аппаратуры, рост плотности их размещения, недостаточная изученность ЭМ процессов происходящих как внутри реальных корпусов функциональной аппаратуры, так и в жилых помещениях. Решение задач излучения или рассеяния электромагнитной волны сложными объектами, являющихся одними из основных задач ЭМ теории, может быть получено с помощью интегральных уравнений, сводящихся методом моментов к СЛАУ с плотными матрицами.

Компьютерное моделирование позволяют существенно снизить затраты на тестирование разрабатываемой аппаратуры, сделать эти процессы более автоматизированными и рентабельными. Более того, учет требований ЭМС, которые становится все более жесткими, а особенно для бытовой радиоэлектроники, является одним из залогов экономического успеха товара на рынке. При компьютерном моделировании основные вычислительные затраты состоят из суммы затрат на формирование матрицы и затрат непосредственно на решение СЛАУ. Поскольку в большинстве случаев временные затраты на решение СЛАУ намного превосходят затраты на заполнение матрицы таким образом, трудно переоценить роль, которую играет выбор эффективного способа решения СЛАУ. Поэтому разработка и исследование новых математических методов и подходов для решения таких СЛАУ весьма актуальна.

Целью данного пособия является описание использования методов позволяющих решать системы линейных алгебраических уравнений, на примере системы TALGAT.

В данном пособии рассматриваются методы решения СЛАУ вида

(1.1)

или иначе, векторно-матричных уравнений

Ax = b,

(1.2)

где b – вектор свободных членов, x – вектор неизвестных (вектор-решение) размерности N и A – N  N матрица коэффициентов данной системы.

Необходимо отметить, что в системе TALGAT (см. методические указания по использованию системы) матрицы относятся к типу данных matrix. При этом матрицы из чисел типа double номинально обозначаются как тип real_matrix, матрицы из чисел типа complex - как тип complex_matrix. Если команда требует параметр типа matrix, то ей можно передавать параметры типа real_matrix и complex_matrix. Если команда явно требует параметр типа real_matrix, то ей нельзя передавать параметр типа complex_matrix, и наоборот.

Индексация столбцов и строк матриц начинается с нуля (в отличие от описания, приведенного в пособии). Векторы в системе представляются матрицами с одной строкой.

Эффективность способа решения системы (1.1) во многом зависит от структуры матрицы A: размера, обусловленности, симметричности, заполненности (т.е. соотношения между числом ненулевых и нулевых элементов), специфики расположения ненулевых элементов в матрице и др.

Все методы решения линейных алгебраических систем можно разбить на два класса: прямые и итерационные. Прямыми методами называются методы, которые приводят к решению за конечное число арифметических операций. Если операции реализуются точно, то и решение также будет точным (в связи, с чем к классу прямых методов применяют еще название точные методы). Итерационными методами являются методы, в которых точное решение может быть получено лишь в результате бесконечного повторения единообразных действий.

В системе TALGAT все реализованные методы позволяют решать СЛАУ как для действительного, так и для комплексного случая.