12. Закон сохранения механической энергии

и однородность времени

Из свойства симметрии однородности времени следует, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала системы отсчета. Если в два произвольных момента времени все тела замкнутой системы поставлены в одинаковые условия, то, начиная с этих моментов времени, все явления в системе протекают одинаково. На основании классической механики Ньютона имеем А = W_k2  W_k1.

Силы, действующие на м. т., связаны с потенциальной энергией выражением ,

где потенциальная энергия задана в виде функции состояния,

т. е. W_p = W_p(x, y, z, t).

Например, поле, где находится м. т., изменяется со временем (пульсирует). Тогда работа всех сил

где .

Следовательно,

или

.

C другой стороны, полная работа A = W_k = W_k2  W_k1.

Cледовательно,

(W_p2 + W_k2)(W_p1 +W_k2) = .

В случае замкнутой системы, в силу однородности времени, производная потенциальной энергии по времени равна нулю, т. е. .

Таким образом, получаем закон сохранения механической энергии

W = W_k + W_p = const.

Замечание: В классической физике взаимосвязь кинетической энергии, импульса и массы описывается формулой

W_k = p² / (2m).

В релятивистской физике согласно специальной теории относительности полная энергия частицы W = mc², р = mv – импульс частицы,

где

,

т. е.

После преобразований получим формулу

W² = p²c² + m²c⁴,

которая выражает взаимосвязь массы, импульса и энергии, т. е. закон сохранения массы, импульса и энергии.

Так как для частиц изолированной системы р = const (закон сохранения импульса) и W = const (закон сохранения механической энергии), то из последней формулы следует, что m = const и c = const.

13. Движение частицы в потенциальном поле

Полная энергия классической частицы

W = W_o + W_k + W_p(r ), (28)

где W₀ = mc² – энергия покоя частицы; W_k = p²/ 2m – кинетическая энергия частицы; W_p(r) – потенциальная энергия во внешнем силовом поле.

Пусть энергия покоя частицы равна нулю, т. е. начало отсчета выбрано на уровне энергии покоя. Как известно, кинетическая энергия не может быть отрицательной, т. е. W_k =  0.

Cледовательно, во всех точках пространства, в которых частица может находиться в данный момент времени, потенциальная энергия меньше или равна полной энергии частицы, т. е. W_p(r)  W = const. Поэтому частица не может проникать в области пространства, где значение потенциальной энергии силового поля превосходит полную энергию частицы.

Вывод: Если полная энергия частицы меньше значения ее потенциальной энергии (для удаленных областей пространства), то частица может проникать только в ограниченную область пространства – такое движение называют финитным.

Примером финитного движения является движение планет в Солнечной системе. Такое движение является весьма устойчивым, поскольку Солнечная система существует около пяти миллиардов лет. Если же частица может удаляться на неограниченное расстояние от системы отсчета, то такое движение называется инфинитным. Примером инфинитного движения является движение электрического заряда в поле одноименного заряда. Ограничения, связанные с инфинитными и финитными движениями, существуют только в классической механике. В квантовой механике возможен эффект

Рис. 14

просачивания частиц сквозь «потенциальный барьер» (туннельный эффект). Рассмотрим, какие свойства характеризуют движение частицы с позиций классической механики. Пусть одномерная частица движется в потенциальном силовом поле вдоль оси Х (рис. 3.30), где приведен график зависимости потенциальной энергии силового поля от координаты х – W_p(x), которую называют «потенциальной ямой».

1. Пусть полная энергия частицы отрицательна (W₁< 0), тогда неравенство W_p(r)  W₁ = const выполняется на отрезке от х = А до х = С (отрезок АС).

Следовательно, частица всегда находится внутри «потенциальной ямы» – движение является финитным, кроме того, будет периодически повторяться, т. е. частица совершает колебательное периодическое движение.

Точки х = А и х = С, для которых выполняется равенство W_p(r) = W₁, являются граничными. Графически эти точки определяются пересечением горизонтальной прямой с графиком функции и являются корнями уравнения , например, в точке А:

W₁ = W_p(A) = mv² / 2 + W_p(A),

т. е. в точке поворота скорость частицы обращается в нуль.

Таким образом, границы движения классической частицы определяются значением полной энергии.

Например, если W = W_p2  0 (рис. 14), то движение частицы станет инфинитным. В точке В (рис. 14) для данной частицы потенциальная энергия минимальна: W_p(Б) = W_p,min.

В потенциальном силовом поле на частицу действует возвращающая сила F_x =  dW_p/ dx и в точке Б она обращается в нуль, а в крайних точках А и С на частицу действует максимальная сила.

Поэтому точке Б соответствует минимум потенциальной энергии, который определяет положение устойчивого равновесия.

Рис. 15

2. Пусть график функции W_p(х) имеет вид, приведенный на рис. 15. «Потенциальная яма» между точками х = Б и х = Г отделена справа потенциальным барьером х = Г, х = Д и х=Е.

В связи с этим движение частицы с полной энергией внутри «потенциальная яма» между точками х = Б, х = Г будет финитным.

Если же частица выйдет за потенциальный барьер, то ее движение станет инфинитным, но уже с одной граничной точкой х = Е.

В случае, когда полная энергия частицы равна , движение частицы является инфинитным в области пространства от х = А до х  , а точкой устойчивого равновесия – т. х = В. В точке х = Д, которая является точкой неустойчивого равновесия, потенциальная энергии максимальна.

Однако при малейшем смещении частицы из точки х = Д сразу же возникает возвращающая сила, которая стремится удалить частицу в ту область пространства, где потенциальная энергия частицы будет минимальной.