Задача 6

Имеются данные по 8 субъектам Российской Федерации за январь-март 2007 года о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в таблице:

Номер субъекта РФ	1	2	3	4	5	6	7	8
Денежные доходы, тыс.руб.	1,98	1,75	1,59	1,58	1,86	2,35	1,28	1,5
Потребительские расходы, тыс.руб.	1,4	0,82	1,26	1,18	1,52	1,23	0,93	1,1

Для необходимых промежуточных расчетов предлагается воспользоваться следующей таблицей:

Номер субъекта РФ	1	2	3	4	5	6	7	8	сумма
x	1,98	1,75	1,59	1,58	1,86	2,35	1,28	1,5	1,98
y	1,4	0,82	1,26	1,18	1,52	1,23	0,93	1,1	1,4
квадрат х	3,9204	3,0625	2,5281	2,4964	3,4596	5,5225	1,6384	2,25	24,8779
произведение ху	2,772	1,435	2,0034	1,8644	2,8272	2,8905	1,1904	1,65	16,6329
квадрат у	1,96	0,6724	1,5876	1,3924	2,3104	1,5129	0,8649	1,21	11,5106

Квантиль распределения Стьюдента при уровне значимости 0,1 равняется 1,943.

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить его значимость.

4. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 8-ом субъекте РФ при уровне значимости 0,1 предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте увеличится на 30%.

5. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение.

6.1. Полем рассеяния называется множество точек на плоскости, координаты которых соответствуют наблюдаемым значениям исследуемых показателей. В нашем примере х_i – среднедушевые денежные доходы, y_i – среднедушевые потребительские расходы в i-м субъекте РФ, i = 1,…,8. Таким образом, поле рассеяния состоит из 8-и точек с координатами (x_i,y_i), которые показаны на рис.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости потребительских расходов у от денежных доходов х и записать эту зависимость в виде линейной модели у = α + βх + u, где α, β - неизвестные постоянные коэффициенты, а u – случайная величина, характеризующая отклонения реальных значений потребительских расходов от их теоретических значений α + βх. Случайная величина u называется случайным отклонением или случайным возмущением модели. Ее включение в модель призвано отразить:

а) влияние не учтенных в модели факторов, влияющих на размер потребительских расходов;

б) элемент случайности и непредсказуемости человеческих реакций;

в) ошибки наблюдений и измерений.

6.2. После формулировки математической модели основная задача состоит в получении оценок неизвестных параметров α и β по результатам наблюдений над переменными х и у, т.е. задача состоит в получении так называемого уравнения регрессии

у = a + bх, являющегося некоторой реализацией модели, в котором коэффициенты а и b есть оценки неизвестных параметров α и β соответственно. Решение задачи нахождения оценок а и b основывается на применении метода наименьших квадратов (сокращенно - МНК), суть которой в следующем.

Оценки а и b можно искать по следующим формулам:

nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

b = ——————— , а = у_ср - bх_ср. (2)

nΣx_i² – (Σx_i)²

Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составляется табл.1, в которой столбцы «у», «у - у», «(у - у)²» заполняются после нахождения уравнения регрессии.

Табл.1

Номер субъекта РФ	х	у	х2	ху	у2	ŷ	ŷ-у	(ŷ-у)2
1	1,98	1,11	3,9204	2,1978	1,2321	1,258339	0,148339	0,022004
2	1,75	0,87	3,0625	1,5225	0,7569	1,11526	0,24526	0,060153
3	1,59	1	2,5281	1,59	1	1,015728	0,015728	0,000247
4	1,58	1,16	2,4964	1,8328	1,3456	1,009507	-0,15049	0,022648
5	1,86	1,51	3,4596	2,8086	2,2801	1,183689	-0,32631	0,106479
6	2,35	1,19	5,5225	2,7965	1,4161	1,488508	0,298508	0,089107
7	1,28	0,92	1,6384	1,1776	0,8464	0,822883	-0,09712	0,009432
8	1,5	1,28	2,25	1,92	1,6384	0,95974	-0,32026	0,102566
cymm	13,89	9,04	24,8779	15,8458	10,5156	8,853654	-0,18635	0,412636

Воспользуемся формулами (2) и значениями последней строки табл.1 для нахождения оценок а и b. Тогда

х_ср = Σх_i/8 = 1,97 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых доходов;

у_ср = Σу_i/8 = 1,4 (тыс.руб.) – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

Следовательно, b = 0,7877

а = у_ср – bx_cp = 0,1971

Таким образом, искомое уравнение регрессии примет вид

ŷ = 0,1971 + 0,7877х

Найденное уравнение регрессии есть уравнение прямой, которая изображена на рис.

6.3. Мерой зависимости между переменными х и у может служить выборочный коэффициент парной корреляции, который обозначается через r_xy и определяется по формуле:

nΣx_iy_i – Σx_iΣy_i

r_xy = ————————— ,

√nΣx_i² – (Σx_i)² √ nΣу_i² – (Σу_i)²

Подставляя соответствующие значения из последней строки табл.1, получаем

r_xy = 0.985, r_xy > 0 и близко к 1, следовательно, связъ сильная положительная, т.е. при увеличении доходов, расходы растут.

Для того, чтобы с большей уверенностью делать вывод о наличии или отсутствии линейной взаимосвязи между переменными х и у, разработан критерий проверки того, существенно ли отличие коэффициента корреляции от нуля или, другими словами, значимо ли значение коэффициента корреляции. Если в результате проверки выясняется, что коэффициент корреляции существенно отличается от нуля, то, несмотря даже на не очень близкое значение коэффициента к единице, делается вывод о наличии линейной взаимосвязи между переменными х и у. Если же подтверждается несущественное отличие r_xy от нуля, то, не смотря на возможно достаточно большое значение коэффициента, делается вывод об отсутствии линейной взаимосвязи между переменными.

Проверка существенности отличия коэффициента корреляции от нуля проводится по схеме:

│ r_xy √ n-2 │

если │  │ > t_1-α/2,n-2 ,

√1 – r_xy²

то гипотеза о существенном отличии коэффициента корреляции от нуля принимается, в противном случае отвергается.

Здесь t_1-α/2,n-2 – квантиль распределения Стьюдента, α - уровень значимости или уровень доверия, n – число наблюдений, (n-2) – число степеней свободы. Значение α задается исследователем зависимости между х и у. Примем α = 0,1, тогда t_1-α/2,n-2 = t_0,975,6 = 2,1604

.

r_xy √ n-2 0,848√8-2

 =  = 5,77 > t_0,975,6

√1 – r_xy² √1- 0,985²

Следовательно, коэффициент корреляции существенно отличается от нуля и существует сильная линейная связь между х и у. Т.е. если мы будем проводить многократное повторение эксперимента по исследованию зависимости между доходами и расходами, всякий раз выбирая различные группы из 8 субъектов РФ, то в 90% этих экспериментов будет обнаружена тесная линейная зависимость между х и у, т.е. в 90% случаев коэффициент корреляции r_xy будет существенно отличатся от нуля.

6.4.Точечным прогнозом значения зависимой переменной у, соответствующего некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется значение ŷ₀, получаемое путем подстановки в уравнение регрессии х = х₀, т.е.

ŷ₀ = ŷ(х₀)= a + bx₀ – точечный прогноз.

Найдем точечный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 8-ом субъекте РФ в будущем периоде, что среденемесячные денежные доходы в этом субъекте увеличатся на 30%, т.е.

х₀ = х₈ + 0,3х₈ = 1,5х₈ =2,587

ŷ₀ = 0,1971 + 0,78772,587 = 1,756 (тыс.руб.).

Таким образом, если среднемесячные денежные доходы в 8-м субъекте РФ увеличатся на 30%, то потребительские расходы в этом субъекте составят 1,756 тыс.руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной у, соответствующим некоторому значению независимой переменной х = х₀, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле: ŷв.н. = ŷ(х₀) ± t_1-α/2,n-2S_ŷ,

где у_в, у_н – соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала;

ŷ(х₀) – точечный прогноз;

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента;

(1-α/2) – доверительная верояность;

(n-2) – число степеней свободы;

/ 1 (x₀ – x_cp) (ŷ_i - y_i)²

S_ŷ = S √  +  , S = √S² , S² = ,

n (x_i – x_cp)² n-2

Доверительный интервал – это такой интервал, в котором с заданной вероятностью будет находиться прогнозируемое значение зависимой переменной у.

Найдем интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30%.

Ранее вычислено ожидаемое значение денежных доходов х₀ = 2,587 тыс.руб.

Пусть α = 0,1, тогда 1-α = 0,9; t_1-α/2,n-2 = t_0,975,6 = 2,1604;

(ŷ_i - y_i)² 0,568 ^.

S² =  =  = 0,044; S = √ 0.052 = 0.209

n – 2 6

(х₀ - х_ср)² = (2,587 – 1,97)² = 0,381

(x_i - x_cp)² = х_i² – n(x_cp)² = 62,58 - 151.97² = 4,3665.

_______________ ____________

/ 1 (x₀ – x_cp)² / 1 0,381

S_ŷ = S √  +  = 0.209 √  +  = 0,082

n (x_i – x_cp)² 8 4,3665

Следовательно, ŷ_н = 1,756 – 0,082 = 1,674 (тыс.руб.)

ŷ_в = 1,756 + 0,082 = 1,838 (тыс.руб.)

Это означает, что при увеличении среднедушевых среднемесячных денежных доходов на 30%, т.е. с 1,99 тыс.руб. до 2,587 тыс.руб., размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с вероятностью 0,90 будет колебаться в пределах от 1,674 тыс.руб. до 1,838 тыс.руб.

6.5. Рассмотрим найденное уравнение регрессии ŷ =0,1971 + 0,7877х. Коэффициент а = 0,1971 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент b = 0,7877 определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов.

Содержательная интерпретация всех остальных понятий и формул, использованных в данной задаче была приведена по ходу решения.

В заключение впишем итоговые результаты.

1. у = α + βх + u – математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов.

2. ŷ = 00,1971 + 0,7877х – уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов.

3. r_xy = 0.985– коэффициент корреляции между х и у, его значение свидетельствует о достаточно тесной линейной зависимости расходов и доходов.

4. ŷ₀ (х₀) = 1,756 (тыс.руб.) – точечный прогноз;

ŷ_н = 1,674 (тыс.руб.)

ŷ_в = 1,838 (тыс.руб.) - интервальный прогноз с 90% доверительной вероятностью.