Задачі для самостійного розв’язування
1.1 Функція задана графічно на проміжку . Знайти її аналітичний вираз.
1.2 Розв’язати
диференціальне рівняння з частинними
похідними:
.
1.3 Розв’язати
диференціальне рівняння з частинними
похідними:
.
1.4 Розв’язати
диференціальне рівняння з частинними
похідними:
.
Контрольні запитання
1.1 Основні поняття теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними.
1.2 Класифікація лінійних рівнянь другого порядку, зведення до канонічного виду.
1.3 Мета зведення диференціального рівняння з частин-ними похідними до канонічного вигляду.
1.4 Які фізичні процеси та явища описуються каноніч-ними диференціальними рівняннями гіперболічного (еліптич-ного, параболічного) типу?
1.5 Постановка крайових задач для рівнянь математичної фізики.
Практичне заняття №2
Тема: Постановка задач про поздовжні коливання в стержні та поперечні коливання струни
Основні теоретичні відомості
Постановка задачі про поздовжні коливання в стержні довжиною l
,
– хвильове рівняння поздовжніх коливань
в стержні; де Е – модуль Юнга,
– густина,
– швидкість розповсюдження поздовжньої
хвилі.
У випадку важкого
стержня хвильове рівняння набуває
вигляду
Крім диференціального рівняння, яке описує даний фізич-ний процес, постановка задачі передбачає наявність початко-вих та граничних умов.
П.У.
де
– початкові зміщення перерізів стержня,
– початкова
швидкість точок стержня.
Функція
характеризує зміщення будь-якого
перері-зу стержня у будь-який момент
часу.
Початкові умови
(П.У.) характеризують стан стержня у
початковий момент часу
.
Граничні умови (Г.У.) характеризують стан стержня на його кінцях.
Граничні умови записуються по різному, у залежності від того, що відбувається на кінцях стержня, наприклад,
один кінець жорстко закріплений, а другий – вільний:
Рисунок 2.1 – Стержень, один кінець жорстко закріплений, а другий – вільний
Г.У.
2) один кінець жорстко закріплений, а на другий діє сила Р:
Рисунок 2.2 – Стержень, один кінець жорстко закріплений, а на другий діє сила Р
За законом Гука
внутрішня сила, що виникає на вільному
кінці
.
Тоді маємо
Г.У.
3) обидва кінці жорстко закріплені:
Рисунок 2.3 – Стержень, обидва кінці якого жорстко закріплені
Г.У.
4) на правому кінці має місце в’язкий опір:
– коефіцієнт
в’язкості
Рисунок 2.4 – Стержень, на правому кінці якого має місце в’язкий опір
Г.У.
5) правий кінець пружно закріплений:
с – жорсткість пружини
Рисунок 2.5 – Стержень, правий кінець якого пружно закріплений
Г.У.
6) один кінець закріплено, а на іншому є вантаж:
M – маса вантажу
Рисунок 2.6 – Стержень, один кінець якого закріплено, а на іншому є вантаж
Г.У.
Постановка задачі про поперечні коливання струни
– хвильове
рівняння поперечних ко-ливань струни,
де Т – сила натягу струни,
– густина.
У випадку важкої
струни хвильове рівняння набуває
ви-гляду
Особливістю задачі про нескінченну струну є відсутність граничних умов і задають лише початкові умови:
П.У.
де – задає початкову форму струни,
– початкові швидкості точок струни.
При постановці задачі про скінченну струну з закріплени-ми кінцями задають початкові та граничні умови:
П.У.
Г.У.
Отже, постановка задач про поздовжні коливання в стерж-ні та поперечні коливання струни включає в себе хвильове рівняння, початкові та граничні умови.