§3. Несобственный интеграл
В предыдущем параграфе были рассмотрены определенные интегралы по конечному интервалу интегрирования и от непрерывной на этом интервале функции. Но на практике часто возникает необходимость вычислять определенные интегралы по бесконечному промежутку и/или от разрывной функции. Такие интегралы называются несобственными. В данном параграфе рассмотрим интегралы по бесконечному интервалу от непрерывных на этих интервалах функций.
Определение.
Несобственным интегралом от функции
в интервале
называется предел интеграла
при
:
.
Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует (в том числе и, если равен бесконечности), то расходящимся.
Замечание.
Если вычислять несобственный интеграл
по определению, то необходимо выполнить
два последовательных действия: решить
определенный интеграл
,
а затем найти предел от полученного
результата, т.е.
.
Однако, можно использовать формулу
Ньютона – Лейбница сразу:
.
Но
при этом следует понимать, что
— это предел первообразной
при
.
Т.е.
,
и если этот предел существует, то
несобственный интеграл сходится, в
противном случае, расходится.
Аналогично
можно дать определение несобственного
интеграла на интервале
.
Определение.
Несобственным интегралом от функции
в интервале
называется предел интеграла
при
:
или
,
где
.
Рассмотрим
интеграл на интервале
.
Тогда, по свойствам определенного
интеграла (см. Справочный материал),
имеем
.
Если
оба интеграла в правой части сходятся,
то и интеграл
сходится, в противном случае расходится.
Пример.
Вычислить несобственный интеграл
.
Решение.
1 способ. Воспользуемся определением:
И сначала вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона – Лейбница:
.
Полученный
результат подставим в
и вычислим предел:
.
Таким
образом, интеграл
сходится и равен
.
2 способ. Будем сразу использовать формулу Ньютона – Лейбница:
.
Но,
при этом, мы имели в виду, что
(вычисление данного предела смотри
выше).
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
Решение.
1 способ. Воспользуемся определением:
.
Таким образом, интеграл расходится.
2 способ. Используем формулу Ньютона – Лейбница:
.
При
этом мы считали, что
.
Замечание. При самостоятельном решении несобственных интегралов, Вы можете использовать любой из рассмотренных выше способов.
При вычислении несобственных интегралов может возникнуть необходимость замены переменной или интегрирования по частям. В этом случае осуществляем те же алгоритмы, что и при вычислении определенных интегралов (см. §2, п.1).
Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
.
Решение. Будем применять формулу Ньютона – Лейбница, используя замену переменной для нахождения первообразной.
.
Значит, интеграл расходится.