§2. Определенный интеграл

п.1. Вычисление определенного интеграла

Определение. Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками : . Обозначим длину - го отрезка через , т.е. , где . На каждом элементарном отрезке выберем произвольную точку ( ). Тогда интегральной суммой для функции на отрезке с выбранным разбиением назовем сумму вида

.

Заметим, что интегральная сумма зависит от функции , от отрезка , от способа разбиения на элементарные и от выбора точек и .

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении длины наибольшего из элементарных отрезков к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , т.е.

,

где — длина наибольшего из элементарных отрезков; — нижний предел интегрирования, — верхний предел интегрирования; — подынтегральная функция, — подынтегральное выражение.

Заметим, что, не смотря на сходство в обозначении и терминологии, неопределенный и определенный интегралы совершенно разные понятия: неопределенный интеграл представляет собой семейство функций, а определенный интеграл — это некоторое число.

Связь между неопределенным и определенным интегралом, а также способ вычисления определенного интеграла показывает формула Ньютона – Лейбница (см. Справочный материал)

.

Из этой формулы следует: чтобы вычислить определенный интеграл от функции на отрезке нужно сначала найти одну из первообразных для , а затем найти ее приращение на отрезке .

Пример. Вычислить определенные интегралы:

а) , б) .

Решение. а) Применим формулу Ньютона–Лейбница, т.е. сначала найдем первообразную для функции по таблице интегралов (см. Справочный материал), а затем найдем ее приращение на отрезке . Итак,

.

Таким образом,

.

б) Для решения этого интеграла применим свойства определенного интеграла (см. Справочный материал), а потом формулу Ньютона–Лейбница:

.

Итак,

.

Способы интегрирования, применяемые для вычисления неопределенного интеграла, справедливы и для определенного интеграла. Рассмотрим основные способы интегрирования при вычислении определенного интеграла на примерах.

Пример. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение. а) . Вычислим данный интеграл методом замены переменной (см. §1, п.1, 1.2). Введем новую переменную и, используя это равенство, изменим пределы интегрирования:

если , то ;

если , то .

Таким образом, получены новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной: и . Тогда решение определенного интеграла выглядит следующим образом:

.

Итак, вычисляя определенный интеграл методом замены переменной, следует изменить пределы интегрирования, и после этого в конце решения к старой переменной можно не возвращаться.

б) . Сделаем замену переменной , тогда пределы интегрирования изменятся:

если , то ;

если , то .

.

Значит,

.

в) . Данный интеграл следует решать методом интегрирования по частям (см. §1, п.1, 1.3). Формула интегрирования по частям для определенного интеграла выглядит следующим образом:

.

.

Итак, .

п.2. Площадь фигуры

Нахождение площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла основано на следующих фактах:

• геометрический смысл определенного интеграла: «интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной на отрезке функции , осью и двумя параллельными прямыми , (см. Справочный материал, рис.1)»;

• площадь фигуры, составленной из нескольких фигур, равна сумме площадей этих фигур.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной и .

Решение. Построим на чертеже фигуру, площадь которой нужно найти. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. . Вершина параболы находится в точке . Абсцисса вершины параболы находится по формуле . В нашем случае , и, тогда

.

Чтобы найти ординату вершины параболы, т.е. значение , подставим найденное в уравнение параболы , получим

.

Таким образом, вершина параболы находится в точке .

Для построения параболы необходимо найти еще, как минимум, две точки, принадлежащие параболе. Пусть это будут точки пересечения параболы и прямой . Найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим систему, составленную из уравнений параболы и прямой

.

Для решения будем использовать метод подстановки:

.

Решим последнее уравнение:

или .

Найдя значения функции при и , получим точки пересечения параболы и прямой , . Таким образом, по трем точкам построим параболу.

Графиком функции является прямая, построим ее по двум точкам пересечения с параболой.

С учетом вычислений выполним построение фигуры. Эта фигура ограничена сверху прямой (или ), снизу параболой , с боков — прямыми и , которые вырождены в точки (см. рис. 5). Площадь фигуры вычислим по формуле:

,

где , , , (см. Справочный материал). Получим:

Р и с. 5

(кв.ед.).

Итак, площадь фигуры равна квадратных единиц.

п.3. Объем тела вращения

Пример. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси фигуры, ограниченной кривой и прямыми , .

Р ешение. Изобразим на чертеже фигуру, которая вращается вокруг оси . Построим графики данных функций. График функции можно построить по нескольким точкам, — прямая параллельная оси , — прямая параллельная оси . График показательной функции и прямая пересекаются в точке с абсциссой ( ). Таким образом, получили фигуру, которая ограничена сверху кривой , снизу прямой , с боков — прямыми и (см. рис. 6). Объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси , вычислим по формуле:

,

где , , , (см. Справочный материал). Получим:

Р и с. 6.

куб.ед.

п.4. Координаты центра тяжести

Определение. Центр тяжести — геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве.

Замечание. Если однородное тело имеет центр симметрии или ось симметрии, то центр тяжести совпадает с центром симметрии или лежит на оси симметрии.

Пример. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой .

Решение. Построим фигуру, координаты центра тяжести которой нужно найти. Абсцисса вершины параболы находится по формуле . В нашем случае , и, тогда

, .

т.е. координаты вершины параболы .

Найдем точки пересечения параболы и прямой . Для этого решим систему

или .

П одставляя найденные значения переменной в уравнение параболы или прямой, получаем координаты точек пересечения и . С учетом вычислений выполним построение фигуры. Эта фигура ограничена снизу параболой , сверху прямой , слева и справа — прямыми и (см. рис. 7). Данная фигура не является криволинейной трапецией, поэтому координаты ее центра тяжести находятся по формулам:

Р и с. 7

; ,

где , , , , — площадь выделенной фигуры (см. Справочный материал).

Найдем площадь фигуры и интегралы

, ,

входящие в формулы для координат центра тяжести.

;

;

.

Тогда,

;

.

Итак, центр тяжести данной фигуры имеет координаты .