2.2. Интегрирование тригонометрических функций
Если
некоторое выражение рационально зависит
только от тригонометрических функций,
то, в силу того, что все тригонометрические
функции могут быть выражены через
и
,
его можно читать рациональной функцией
от
и
.Таким
образом, это выражение имеет вид
.
Для вычисления подобных интегралов необходимо каким-либо образом перейти к интегралу от рациональной функции, т.е. рационализировать интеграл. Этой цели помогают достигать различные подстановки. Рассмотрим некоторые из них.
2.2.1. Универсальная тригонометрическая подстановка (УТП)
а)
Интеграл вида
с помощью подстановки
преобразуется в интеграл от рациональной
функции. На самом деле, с помощью основных
тригонометрических тождеств функции
и
могут быть выражены через
(вывод этих формул рекомендуется
провести самостоятельно):
;
.
Кроме
того, если продифференцировать равенство
:
,
а потом выразить из него , то получим:
.
Итак, если , то
;
;
.
Таким образом, с помощью УТП преобразовали интеграл от тригонометрической функций в интеграл от рациональной дроби:
.
Замечание.
С помощью данной подстановки удобно
вычислять интегралы вида
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Используем УТП:
Таким образом, пришли к интегралу от простейшей дроби (см. 2.1.1.). Выделим полный квадрат в знаменателе, сделаем замену переменной:
.
Итак,
.
б)
Если в тригонометрическое подынтегральное
выражение функции
и
входят только в четных степенях,
т. е. имеет место быть интеграл
,
то подстановка
приводит к непростым, громоздким
преобразованиям. В этом случае гораздо
более удобна подстановка
.
Так
как любую четную степень
и
легко представить в виде
и
,
то выразим через
следующие выражения:
,
и
.
Получим:
;
;
;
.
Таким образом, интеграл рационализируется.
Замечание.
Эта же подстановка
позволяет вычислять интегралы вида
,
т.е. такие интегралы, подынтегральная
функция которых зависит только от
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Выполним подстановку .
.
Таким образом,
.
2.2.2.
Интегралы вида
,
где
и
—
целые числа
Прямое использование универсальной тригонометрической подстановки в таких интегралах приводит к сложным преобразованиям, поэтому в данном случае используют другие замены:
а)
если
и нечетное, то подстановка
приводит исходный интеграл к интегралу
от степенных функций;
б)
если
и нечетное, то подстановка
приводит исходный интеграл к интегралу
от степенных функций;
в) если оба показателя и положительны и четны, то применяют формулы тригонометрических преобразований с кратными аргументами:
;
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. В данном случае функция входит в интеграл в положительной нечетной степени, поэтому будем делать замену . Но сначала, немного подготовим интеграл к замене.
От функции в нечетной степени отделим один множитель и используем для оставшегося множителя в четной степени основное тригонометрическое тождество, т.е. запишем:
.
Подставим в интеграл и выполним замену .
.
Таким образом, получили
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Так как в подынтегральную функцию входит только функция в четной степени, то будем использовать тригонометрические преобразования:
.
Первый из трех интегралов — табличный, для вычисления второго можно использовать метод замены переменной. А для последнего применим тот же прием, что и для исходного интеграла, т.е. используем тригонометрические тождества:
.
Возвращаясь к трем интегралам и учитывая последний интеграл, получим:
.
Таким
образом,
.
Замечание. Иногда, чтобы привести интеграл от тригонометрической функции к табличному интегралу или упростить его, достаточно лишь преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригонометрических тождеств.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Чтобы вычислить этот интеграл, сначала преобразуем подынтегральную функцию, используя одно из тригонометрических тождеств :
.
Таким образом,
.