2.1. Интегрирование рациональных дробей
Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:
,
где
,
— многочлены
–ой
и
–ой
степени соответственно.
Определение.
Правильной рациональной дробью
называется дробь, степень числителя
которой меньше степени знаменателя,
т.е. если
.
В противном случае (если
)
дробь называется неправильной.
Их всех правильных рациональных дробей выделяют несколько видов простейших дробей:
,
,
,
,
где
,
,
,
,
,
,
— действительные числа.
2.1.1. Интегрирование некоторых видов простейших дробей.
Интегралы
,
берутся с помощью замены
(см. §1, п.1, 1.2). Предлагаем читателю
самостоятельно вычислить данные
интегралы.
Рассмотрим интегрирование дробей вида
и .
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение. Данный интеграл относится к виду .
Сначала выделим полный квадрат в знаменателе:
.
Далее
выполним замену переменной
,
продифференцируем полученное равенство,
выразим
и
.
Получаем:
,
,
,
.
Подставим , , в интеграл:
.
Первый интеграл вычисляем методом замены переменной:
,
,
,
.
Имеем:
.
Второй интеграл является табличным:
.
Окончательно получаем:
.
Замечание. Аналогично вычисляют интегралы вида .
2.1.2. Интегрирование правильных дробей.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение. Подынтегральная дробь
является
правильной, т.к. степень числителя (
)
меньше степени знаменателя (
).
Для интегрирования правильной рациональной дроби нужно представить ее в виде суммы простейших дробей. Для этого разложим знаменатель дроби на множители. В нашем случае второй множитель является полным квадратом, поэтому
.
Тогда разложение дроби на простейшие должно иметь вид
.
Найдем коэффициенты А, В, С. Приведем простейшие дроби, стоящие в правой части равенства, к общему знаменателю
.
Приравнивая старый и новый числители, получим
.
Выпишем коэффициенты из левой и правой частей равенства, стоящие при одинаковых степенях переменной . Получим систему
.
Решим
эту систему уравнений. Умножим второе
уравнение на
,
а затем прибавим ко второму уравнению
третье, получим
.
Из
первого уравнения найдем
и подставим полученное равенство во
второе уравнение. Получим
;
;
;
,
тогда
.
Подставим найденные
и
в третье уравнение системы, имеем
,
,
,
.
Таким образом, , , .
С учетом найденных коэффициентов правильная дробь представляет собой сумму простейших дробей
.
Проинтегрируем полученное равенство
.
Первый интеграл решаем методом замены:
.
Аналогично решая второй интеграл, получим
.
В третьем интеграле
сделаем замену
.
.
Окончательно исходный интеграл равен
.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение. Подынтегральная дробь
является правильной, т.к. степень числителя ( ) меньше степени знаменателя ( ).
Знаменатель дроби уже разложен не множители. Дальнейшее разложение на множители невозможно, т.к. второй множитель представляет собой многочлен с отрицательным дискриминантом. Тогда разложение дроби на простейшие должно иметь вид
.
Приведем простейшие дроби к общему знаменателю
.
Приравняем числители
.
Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях переменной
.
Из
первого уравнения найдем
и подставим полученное выражение в
остальные два уравнения системы:
.
Умножим второе уравнение на 2 и прибавим его к третьему уравнению
.
Из
последнего уравнения находим
.
Подставляя найденное
во второе уравнение, находим
.
Тогда из первого уравнения имеем
.
Итак, , , . С учетом найденных коэффициентов правильная дробь представляет собой сумму простейших дробей
.
Интегрируем последнее равенство
.
В первом интеграле
после замены переменной
получим
.
В знаменателе дроби второго интеграла выделим полный квадрат и выполним замену переменной:
.
Возвращаясь к исходному интегралу, получим
.
2.1.3. Интегрирование неправильных дробей.
Если
дробь
неправильная, то, разделив многочлен
на многочлен
,
мы получим в частном некоторый многочлен
и в остатке многочлен
не выше степени
–ой.
Следовательно
,
причем
рациональная дробь
является правильной. Тогда интегрирование
неправильной дроби сводится к вычислению
интегралов от многочлена
и правильной дроби
.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение. Подынтегральная дробь
является
неправильной, т.к. степень числителя
(
)
больше степени знаменателя (
).
Разделим «столбиком» числитель на
знаменатель, т.е. выделим у дроби целую
часть:
,
где
— частное, а
— остаток.
Таким образом, получили, что
.
Проинтегрируем полученное равенство
.
Первые три интеграла являются табличными. Найдем последний интеграл.
Дробь
является правильной, т.к. степень
числителя равна 1, степень знаменателя
равна 2. Разобьем интеграл
на два, поделив каждое слагаемое
числителя на знаменатель. Первый
полученный интеграл
можно решить, сделав замену переменной
(подробное решение предлагаем Вам
выполнить самостоятельно), а второй
является табличным. Имеем
.
Вернемся к исходному интегралу
.