1.3. Интегрирование по частям
Данный метод интегрирования основан на следующей формуле
,
называемой
формулой интегрирования по частям,
где
,
— дифференцируемые функции от
.
Интегрирование
по частям заключается в том, что
подынтегральное выражение
исходного интеграла нужно представить
в виде произведения двух множителей
и
,
причем первый должен легко
дифференцироваться, а второй
интегрироваться. Применяя формулу
интегрирования по частям, мы неизвестный
интеграл заменяем двумя интегрированиями:
1) при нахождении
из выражения
;
2) при вычислении интеграла
.
Предполагается, что нахождение интеграла
проще, чем
.
Успешность
применения данного метода зачастую
зависит от правильного выбора множителей
и
.
За множитель
удобно выбирать многочлены (например,
,
и т.д.), логарифмические (
,
),
обратные тригонометрические функции
(
,
,
,
).
Эти функции легко дифференцируются, и
производные от них значительно проще,
чем сами эти функции. Например, при
нахождении производной от степенной
функции у производной понижается
степень; а производная от логарифмической
функции относится к более простому
классу функции.
Оставшаяся
после выбора
часть подынтегрального выражения
принимается за
(обязательно вместе с
),
при этом интегрирование
должно легко осуществляется. Обычно,
в качестве
принимают степенные, показательные
(
,
и т.д.), тригонометрические (
,
,
,
)
функции.
Следует заметить, что данные критерии выбора функций и не являются строгими. Главное, чтобы это разбиение привело к результату.
При необходимости интегрирование по частям можно применять последовательно несколько раз, а также в комбинации с другими методами интегрирования.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Подынтегральное выражение данного
интеграла легко разбить на два множителя:
примем
за
,
а
за
,
т.е.
,
.
Затем,
дифференцируя
,
находим
;
интегрируя
,
находим
.
Таким образом, имеем
,
.
Обратите внимание, что при интегрировании произвольную постоянную мы не записываем. Присоединим ее к произвольной постоянной, которая появится после окончательного интегрирования.
Поставляем полученные выражения в исходный интеграл:
.
Таким
образом,
.
Пример.
Вычислить интеграл
.
Решение. Найдем данный интеграл методом интегрирования по частям. Положим:
,
.
Тогда
,
.
Подставляя полученные выражения в формулу интегрирования по частям, имеем
.
Вычислим интеграл
методом замены переменной, т.к. в числителе находится производная (с точностью до постоянного множителя) от подкоренного выражения. Итак,
.
Возвращаемся к исходному интегралу
.
п.2. Интегрирование отдельных классов функций
Рассмотрим алгоритмы интегрирования отдельных классов функций: рациональных дробей и тригонометрических функций.