Методические указания к решению индивидуальных заданий
§1. Неопределенный интеграл
Определение.
Первообразной от функции
называется функция
,
производная от которой равна данной
функции, т.е.
.
Определение.
Неопределенным интегралом от
функции
называется
множество всех первообразных от данной
функции
и
обозначается
,
где
— одна из первообразных от функции
.
Функция
называется подынтегральной функцией,
выражение
— подынтегральным выражением.
Определение. Неопределенным интегрированием (интегрированием) функции называется отыскание первообразных от этой функции.
п.1. Способы интегрирования
Выделяют три основных способа интегрирования:
непосредственное интегрирование (метод разложения);
замена переменной (метод постановки);
интегрирование по частям.
Цель любого способа – привести исходный интеграл к табличному интегралу или упростить его. Средства для достижения данной цели в каждом способе разные.
1.1. Непосредственное интегрирование (метод разложения)
Исходный интеграл, если он не является табличным, можно упростить или привести к табличному с помощью элементарных математических преобразований. Для достижения этой цели можно использовать правила интегрирования, формулы сокращенного умножения, тригонометрические тождества и другие тождественные преобразования.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение. Данный интеграл не является табличным, но простые алгебраические преобразования помогут упростить его. Для начала раскроем в числителе скобки, а затем почленно разделим числитель на знаменатель:
.
Теперь
используем правила интегрирования,
т.е. разобьем интеграл на сумму четырех
интегралов и вынесем все постоянные
множители за знаки интегралов; кроме
этого, воспользуемся определением
степени с отрицательным показателем
:
.
Таким образом, окончательно получаем:
.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим тот же способ решения, что и
в предыдущем примере, т.е. почленно
поделим числитель на знаменатель.
Только предварительно запишем каждый
корень в виде степени с рациональным
показателем, используя формулу
.
.
Окончательно имеем:
.
Пример. Вычислить интеграл
.
Решение.
Для вычисления этого интеграла
используем следующий прием: образуем
в числителе многочлен, находящийся в
знаменателе. Для этого умножим числитель
на 3, но чтобы дробь не изменилась,
умножим ее еще и на
.
Затем в числителе прибавим и вычтем 2.
Теперь сгруппируем первые два слагаемые числителя, а затем поделим числитель на знаменатель почленно:
.
Таким образом,
.
1.2. Замена переменной (метод подстановки)
Чтобы привести исходный интеграл к табличному или сделать его проще для интегрирования, иногда достаточно удачно сделать замену переменной. Данный способ интегрирования применяют для интегралов, подынтегральное выражение которых можно представить в следующем виде:
,
где
— дифференциал функции
.
Т.е., если в подынтегральном выражении
есть некоторая сложная функция, зависящая
от функции
,
и множитель, являющийся производной
(с точностью до постоянного множителя)
от этой функции
,
то в этом случае выполняют замену
переменной
и приходят к табличному интегралу
.
После вычисления табличного интеграла
обязательно следует вернуться к
первоначальной переменной
,
т.е. выполнить обратную замену.
Замечание.
Можно производить замену переменной
не по формуле
,
а по формуле
,
т.е. выражать не
через
,
а наоборот: старую переменную
через новую
.
Пример. Вычислить интеграл методом замены переменной
.
Решение.
Выполним замену переменной
.
Далее, чтобы полностью перейти к новой
переменной, продифференцируем полученное
равенство:
.
Таким
образом, получим, что
.
Выразим из последнего равенства
:
.
Подставляем
и
в данный интеграл, получим
.
Возвращаясь к переменной , окончательно получим
.
Пример. Вычислить интеграл методом замены переменной
.
Решение.
Выполним замену переменной
.
Дифференцируя полученное равенство и
выражая
,
получим
,
,
.
Подставляя
и
в исходный интеграл, имеем
.
Возвращаясь к переменной , окончательно получим
.