Вводное слово

Интегральное исчисление – один из важнейших разделов математического анализа и курса математики в целом. Без умения вычислять неопределенный интеграл Вы вряд ли сможете вычислить определенный и несобственный интегралы. Знание интегралов позволит Вам с легкостью справляться с дифференциальными уравнениями. Кроме того, в теории рядов и в теории вероятностей также требуется вычислять интегралы. Широкое применение находят определенные и несобственные интегралы в физике и других точных науках. Таким образом, успешно усвоив данную тему, Вы облегчите себе дальнейшее изучение математики и не только её...

Что же нужно знать, чтобы изучение интегрального исчисления проходило легче? Прежде всего, раз дифференцирование и интегрирование –

два взаимно обратных действия, то просто необходимо обладать умением вычислять производные и дифференциалы от элементарных и сложных функций. Ну, и естественно, что без знания таблицы интегралов и правил интегрирования изучать эту тему будет достаточно сложно. Мы не говорим об элементарных алгебраических и тригонометрических преобразованиях, — этим Вы должны владеть в совершенстве. Все основные таблицы и формулы, которые могут Вам пригодиться, приведены ниже в разделе Справочный материал.

Еще хотелось бы отметить, что, чем больше примеров Вы решите самостоятельно, тем проще Вам будет на контрольной/зачете/экзамене. Именно для Вашей самостоятельной работы приведены Варианты индивидуальных заданий. Мы надеемся, что Методические указания с разобранными примерами помогут Вам в освоении этой непростой, но интересной темы.

Удачи!

Авторы.

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Формулы сокращенного умножения

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Тригонометрические тождества

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

Правила дифференцирования

Пусть — произвольное число, и — функции, зависящие от независимой переменной , тогда справедливы следующие равенства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Таблица производных

1. ;

2. ;

3. ,

где — любое действительное число;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. , ( );

11. ;

12. ,( );

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. .

Правила интегрирования

Пусть — произвольное число, и — функции, зависящие от независимой переменной , тогда справедливы следующие равенства:

1. ;

2. .

Таблица интегралов

1. ;

2. , ( );

3. ;

4. ;

5. ,( );

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .

Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

,

где — одна из первообразных для подынтегральной функции , и — соответственно нижний и верхний пределы интегрирования.

Простейшие свойства определенного интеграла

Пусть — произвольное число, и — функции, зависящие от независимой переменной , тогда справедливы следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , где ;

5. Если сохраняет знак на интервале интегрирования, то и определенный интеграл от этой функции представляет собой число того же знака, что и подынтегральная функция.

Геометрические приложения определенного интеграла

1) Площадь фигуры

П лощадь криволинейной трапеции (т.е. фигуры, ограниченной графиком неотрицательной функции , осью абсцисс и двумя параллельными прямыми , ), изображенной на рисунке 1, можно найти по формуле:

.

Р и с. 1

Площадь фигуры, ограниченной графиками двух функций и (причем для всех из промежутка ), параллельными прямыми , (см. рис. 2), можно найти по формуле:

.

Р и с. 2

2) Объем тела вращения

Если тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс, параллельными прямыми , (см. рис. 3), то его объем можно найти по формуле:

.

Р и с. 3

Е сли тело получено вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками двух функций и (причем для всех из промежутка ), параллельными прямыми , (см. рис. 4), то его объем можно найти по формуле:

.

Р и с. 4

3) Координаты центра тяжести

Координаты центра тяжести криволинейной трапеции (см. рис. 1) , ограниченной графиком неотрицательной функции , осью абсцисс и двумя параллельными прямыми , , можно вычислить по формулам:

; ,

где — площадь криволинейной трапеции.

Координаты центра тяжести фигуры, ограниченной графиками двух функций и (причем для всех из промежутка ), параллельными прямыми , (см. рис. 2), можно вычислить по формулам:

; ,

где — площадь рассматриваемой фигуры.