23. Использование смешанного пуассоновского/гамма-распределения для моделирования распределения числа страховых случаев в актуарных расчетах.
Пусть Qj имеет Гамма-распределение с параметрами a и b. СВ имеет Гамма-распределение с параметрами a и b, если её функция плотности вероятностей имеет вид:
;
M(Q)=a/b
D(Q)
= a/b2
- Гамма-функция
Эйлера. Г(а+1)=аГ(а)
Г(а+1)=а!; а- натуральное число.
Тогда распределение числа страховых случаев в портфеле:
Таким образом,
получается отрицательная биномиальная
СВ с параметрами p=
и
q=
,
r=a.
Вычисление вероятностей NB-распределение
не требует таблицы Гамма-функции, так
как использование свойства Г(а+1)=аГ(а)
позволяет прийти к реккурентной формуле:
при начальном
значении
.
Оценки параметров распределения по
выборке:
,
24. Использование смешанного пуассоновского/обратного гауссовского закона для моделирования распределения числа страховых случаев в актуарных расчетах.
;
g,h>0
Тогда получается смешанное пуассоновское распределение, которое называется пуассоновское/обратное гауссовское с характеристиками M(x)=g, D(x)=g(1+h).
Вероятности могут быть вычислены рекуррентно:
Выборочные оценки:
g=
,
,
при условии, что
>
25. Использование Гамма-распределения для моделирования ущерба в одном договоре
Для получения приемлемой аппроксимации распределения совокупных убытков используется Гамма-распределение, но не обычное, а с параметризацией с участием м.о. μ.
Характеристики:
M(x)=
μ, D(x)=
μ2/a,
K=1/
,
Ac=2/
,
a
– параметр формы.
Так как для нас важно, чтобы аппроксимирующее распределение величины убытка имело как можно больший вес вблизи нулевой точки, в актуарных расчетах используется Гамма-распределение с параметром а<1
Оценки параметров:
Сумма независимых Гамма-СВ имеет Гамма-распределение, если у них не одинаковое μi и аi, но одинаковое отношение μi/ аi. Это даёт возможность моделировать с помощью Г-распределения совокупный убыток группы рисков с разными страховыми суммами (инвариантность относительно свёртки).
26. Использование обратного гауссовского распределения для моделирования ущерба в одном договоре.
,
а, μ, х >0
Используется а<1
M(x)=μ
D(x)=
;
K=
;
Ac=
Также как и гамма-распределение, обратное гауссовское сохраняется в результате свёртки, когда у случайных величин не одинаковое μi и аi, но одинаковое отношение μi/ аi. Тоже подходит для моделирования распределения совокупного убытка с разными страховыми суммами. Преимущество перед гамма-распределением – это можно выразить через стандартное нормальное распределение и функцию Лапласа.
.
27. Использование логнормального распределения для моделирования ущерба в одном договоре.
M(x)=
D(x)=
;
K=
;
Ac=
Логнормальное распределение не инвариантно относительно свёртки, но хорошо подходит для моделирования убытка в отдельном страховом случае.