20. Использование простых распределений – пуассоновского, геометрического и обобщенного геометрического для моделирования распределения числа страховых случаев в актуарных расчетах.

Распределение Пуассона – вероятность p появления страхового случая А в каждом договоре мала (закон редких событий). При этом число n велико, а страховые случаи обладают частотой λ=np.

М ожет применяться при моделировании числа страховых случаев индивидуального страхователя для однородного портфеля договоров – в том случае, если по договору может быть предъявлено несколько исков (не одновременно). Например, имущественное, автомобильное, медицинское и т.п. страхование. Может подходить для описания в коллективной модели числа страховых случаев, происходящих в определённом фиксированном временном промежутке и относящихся к портфелю рисков. Ограничение на исследуемую совокупность – м.о. и дисперсия должны быть равны.

Геометрическое распределение – m испытаний Бернулли (p – вероятность наступления A) до 1 успеха.

M(X)=1/p D(X) = q/p² = (1-p)/p²

Геометрическое – частный случай отрицательного биномиального с r=1;

Обобщенное геометрическое – m испытаний, в каждом из которых события с вероятностью p, обобщение заключается в введении параметра а: P(m)=a*pⁿ(1-p); 0≤a≤1/p

21. Использование биномиального и отрицательного биномиального распределения для моделирования распределения числа страховых случаев в актуарных расчетах.

Биномиальное распределение – страховое событие может произойти 1 раз, а вероятность, что оно произойдет, одинакова для всех договоров (то есть применимо в договорах с фиксированном ущербом – страхование автомобиля от угона, человека на случай смерти).

Отрицательное биномиальное распределение P(x=k)= , r – число успехов, k – число неудач. Применение – для отрицательного биномиального распределения дисперсия больше м.о., поэтому его применение в страховании во многих случаях даёт наиболее адекватный результат. Например, при моделировании числа страховых случаев индивидуального страхователя для неоднородного портфеля договоров (при отклонении от пуассоновской модели) – в смешанной пуассоновской модели. Ограничение совокупности – м.о. не превышает дисперсию, иначе оценка вероятности больше 1.

22. Использование сложных моделей - смешанных пуассоновских распределений для моделирования распределения числа страховых случаев в актуарных расчетах.

На практике λ часто оказывается непостоянным:

- Различие параметров Пуассоновского распределения у разных страхователей при моделировании числа случаев в индивидуальной модели

- Различие в λ для разных лет в портфеле с одинаковыми рисками в случае коллективных моделей (погодные условия, экономическая конъюнктура и т.п.)

Возникает проблема введения дополнительной случайной величины Q_j, отвечающей за параметр λ, распределение которой называют смешивающим. Q_j – мера неоднородности страхового портфеля. Плотность распределения Q_j будет обозначаться u(λ) и называться структурной функцией. Получающееся распределение числа страховых случаев в портфеле:

называется смешанным законом Пуассона. Часто делается предположение о виде смешивающего распределения – гамма, обратное гауссовское и другие.