17. Применение функции полезности в страховании. Выбор наиболее выгодного договора с помощью функции полезности.

Использование u(w):

w – начальный капитал страхователя (его уровень благосостояния)

БП – плата за страховой полис

x – наступивший ущерб в течение действия срока договора (X – СВ с плотностью f(X)).

Тогда принцип эквивалентности:

Страхователю выгодно страхование, если:

; Таким образом, вычислив функцию плотности для различных вариантов договоров страхования и отказа от страхования вообще, можно выяснить, какое поведение будет наиболее выгодно страхователю с точки зрения теории полезности. М.О. функции u(w):

f(x) – плотность распределения ущерба на [a;b]

Прежде всего определяются граничные условия u_max=u(w);

u_min=u(w-b). Все значения должны быть u_min ≤u(x)≤ u_max

Отказ от страхования соответствует M(u(w-x)). Значение функции полезности для различных вариантов договоров страхования определяются согласно условиям договоров – брутто-премиям и доле ответственности за риск. Максимальное из найденных значений функции полезности укажет на наиболее выгодный для страхования договор.

18. Актуарные модели – индивидуальные и коллективные.

Основная и самая сложная задача актуария – описание и обоснование моделей распределения, используемых для аппроксимации числа страховых случаев и распределения ущерба.

2 группы моделей: 1. Индивидуальные модели – распределение совокупного годового убытка группы рисков получается в результате свертки распределений годовых совокупных убытков отдельных рисков. 2. Коллективные модели – распределение совокупного убытка группы строится на основе распределений числа убытков и размера убытка в 1 страховом случае, при этом плоскость отдельных рисков не задействуется.

Предпосылки использования: Индивидуальные – однородный портфель рисков, 1 требование по риску. Коллективные – неоднородный портфель рисков, несколько требований по риску.

Что моделируется: индивидуальные – средние выплаты по каждому договору (группе договоров) M(Y_i), совокупные выплаты по всему портфелю с помощью аппарата свёртки, производящих функций или нормальной аппроксимации. Коллективные – среднее число требований (страховых случаев) во всем портфеле M(N), средние выплаты по всему портфелю M(Y), совокупный ущерб по портфелю.

М.о и дисперсия выплат: индивидуальные -

Коллективные – M(S)=M(Y)*M(N)

D(S) = M(N)*D(Y)+D(N)*(M(Y))²; N – распределение числа убытков, Y – распределение размера убытков.

Вероятность разорения для обеих моделей ε=P(S>A), где A – суммарные активы.

19. Использование метода сверток и метода производящих функций для построения распределения совокупного ущерба по портфелю договоров в рамках индивидуальной модели.

Для построения распределения совокупного ущерба по портфелю договоров в рамках индивидуальной модели может использоваться метод свёрток. Его суть заключается в том, что составляется закон распределения суммы всех возможных ущербов в 1 договоре. Сначала составляется совместный закон распределения ущерба в 2 договорах, затем на его основании составляется закон распределения суммарного ущерба в этих договорах, и далее аналогично добавляются остальные договоры.

Также может использоваться метод производящих функций. Составляется производящая функция:

, где x_i – величина ущерба в 1 договоре. Далее находится суммарная производящая функция: . Коэффициенты при будут являться вероятностями наступления ущерба x_i в совокупном портфеле договоров.