6.4. Итерационный метод вращений (Якоби)

Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы к диагональному виду с помощью бесконечной последовательности элементарных вращений

; (6.10)

; p = 0,1,…. (6.11)

При этом

(6.12)

; (6.13)

(6.14)

. (6.15)

Это преобразование обладает следующими свойствами:

1. сферическая норма матрицы при преобразовании не изменяется:

; (6.16)

2. поскольку

, (6.16)

то при преобразовании диагональная часть сферической нормы изменяется на величину

. (6.17)

Отсюда следует вывод: если элементарное вращение производить так, чтобы аннулировать элемент , то при этом диагональная часть сферической нормы матрицы увеличится на величину (недиагональная ее часть уменьшится на ту же величину). Таким образом, при матрица превратится в диагональную.

Параметры вращения определяются из условия аннулирования недиагонального элемента:

(6.18)

и условия (8), которые приводят к биквадратному уравнению

. (6.19)

Один из его корней

; ; (6.20)

. (6.21)

6.5. О выборе аннулируемых элементов

При каждом элементарном вращении наиболее выгодно аннулировать недиагональный элемент с максимальным модулем. Но для больших матриц перебор всех элементов становится очень длительной процедурой. Наиболее выгодным оказалось отыскивать и аннулировать т.н. оптимальный элемент. Для этого составляются суммы квадратов недиагональных элементов строк:

. (6.22)

Из них выбирается наибольшая , а в ней - наибольший по модулю элемент .

После каждого вращения изменяются только две суммы, причем вычислить их можно просто:

(6.23)

7. Методы решения нелинейных уравнений и систем

7.1. Постановка задачи

Требуется найти все или некоторые корни уравнения

, (7.1)

где - заданная непрерывная функция.

Эта задача состоит из следующих этапов:

3. исследование количества, кратности и расположения корней;

4. отыскание приближенных значений корней;

5. выбор интересующих нас корней и вычисление их с требуемой точностью.

Первые два этапа выполняются аналитическими и графическими методами. Для уточнения корней используются итерационные методы.

7.2. Метод половинного деления (дихотомия)

Пусть найдены такие точки и , что , т.е. на отрезке лежит не менее одного корня уравнения (1). Найдем середину отрезка и вычислим . Из двух половин отрезка выберем ту, для которой , т.к. один из корней лежит на ней. Далее действия повторяются.

Если требуется найти корень с погрешностью , то деление отрезков пополам продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше . Тогда средина этого отрезка и будет корнем с требуемой точностью.

Преимущества метода:

1. простота: алгорим элементарен;

2. надежность: функция может быть недифференцируемой, точность ее вычисления не влияет на результат (метод устойчив к погрешностям округления) и точность ответа гарантируется.

Недостатки метода:

1. если на начальном отрезке есть несколько корней, то будет найден один из них, заранее неизвестно, какой;

2. метод неприменим к корням четной кратности;

3. метод не обобщается на системы уравнений;

4. скорость сходимости метода невелика.