Формирование матрицы главных сечений.

Одна из топологических моделей

МГС – матрица главных сечений, она формируется на основе закона Киргоффа для токов главных сечений или закона Киргоффа для напряжений – хорд.

На практике этот метод не применяется. Если дерево графа и его дополнение рассечь замкнутой линией, пересекающей ветвь графа не более одного раза, то эта линия будет называться сечением.

Главное сечение – сечение, пересекающее лишь одно ребро, количество пересекаемых хорд может быть любым.

Для каждой схемы может быть построено 5 главных сечений по числу рёбер.

Составим закон Киргоффа для главных сечений. Сумма токов, втекающих в главное сечение равна 0.

Перейдём к матричной форме записи, оставив в левой части токи рёбер, а в правой – токи хорд. Если вынести минус перед матрицей, то F – матрица главных сечений.

Можно связать токи рёбер и токи хорд. Аналогично можно получить матрицу главных сечений на основе управлений Киргоффа для напряжений хорд.

Если преобразовать систему уравнений так, чтобы слева находились напряжения хорд, а слева напряжения рёбер, то матрица, связывающая эти напряжения, будет транспонированной:

- вектор напряжения хорд

- вектор напряжения рёбер

Зная матрицу главных сечений можно связать между собой:

1. токи рёбер и токи хорд

2. напряжение хорд и напряжение рёбер

На практике матрицу главных сечений получают исходя из матрицы инциденций: на основе методов линейной алгебры. Матрица инциденций - матрица связи или матрица структуры.

Матрица инциденций

Матрица инциденций содержит информацию о соединениях узлов и ветвей. Элемент матрицы , где i – номер узла, а j – номер ветви. Причём, ветвь либо входит в узел, либо выходит из узла, либо подсоединена к узлу.

0, если j-я ветвь не подсоединена к узлу

= +1, если j-я ветвь выходит из узла

-1, j-я ветвь входит в i-ый узел

Сформировать матрицу инциденций можно:

1. на основе графа схемы

2. на основе схемы, подготовленной для построения графа (нумерацию узлов, нумерацию ветвей, направление ветвей).

Размерность матрицы инциденций определяется количеством узлов и ветвей в схеме:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Целесообразно заполнить матрицу с учётом того, что ветвь выходит из одного узла и входит лишь в один узел, т.е. заполнить по столбцам матрицу. Если проанализировать матрицу, то наблюдается закономерность в столбцах: одна единица, одна (-1), остальные нули. В связи с этим одну строчку из матрицы без потери информации можем отбросить. Принято отбрасывать нижнюю строку.

Матрица инциденций, содержащая все строки, называется полной матрицей инциденций. Матрица без одной строки – редуцированной матрицей или структурной матрицей. Структурная матрица связывает все токи ветвей.

Имеем закон Киргоффа для ветвей.

Если от последнего соответствия перейти к соотношению вида , выделив в левую часть токи рёбер, то получим матрицу главных сечений.

Вывод: топологические модели(все их 4 формы) связаны между собой и предназначены для формирования на их основе топологических уравнений.

Три вида топологических уравнений:

1. для уравнений токов, рёбер и хорд

2. для уравнений напряжений

3. матрицы

Формирование математической модели происходит на основе топологических и компонентных уравнений. Компонентные уравнения – уравнения, устанавливающие связи между токами и напряжениями на отдельных компонентах.

Рассмотренное формирование математической модели соответствует моделям цепей в пространстве состояний. Применение иных моделей цепей матричная форма для линейных цепей в частотной области или описание нелинейных цепей на основе функциональных рядов предполагает иные алгоритмы формирования математической модели.

Если необходимо промоделировать нелинейную цепь, то для описания нелинейных элементов(диодов, транзисторов) используется эквивалентные схемы, содержащие R,L,C – элементы, источники тока, напряжения, в том числе нелинейные и управляемые.