Задача 6

Имеются данные по 8 субъектам Российской Федерации за январь – март 2007 г. о денежных доходах и потребительских расходах на душу населения в среднем за месяц, которые приведены в таблице.

Номер субъекта РФ	1	2	3	4	5	6	7	8
Денежные доходы, тыс. руб.	1,66	1,75	1,59	1,58	2,36	2,35	1,44	1,5
Потребительские расходы, тыс. руб.	1,08	0,82	1,04	1,34	1,72	1,55	0,89	1,26

На основе имеющихся данных требуется:

1. Построить поле рассеяния наблюдаемых значений показателей и на основе его визуального наблюдения выдвинуть гипотезу о виде статистической зависимости потребительских расходов y от денежных доходов x; записать эту гипотезу в виде математической модели.

2. Используя метод наименьших квадратов найти точечные оценки неизвестных параметров модели, записать найденное уравнение регрессии и построить график функции регрессии.

3. Найти коэффициент парной корреляции между денежными доходами и потребительскими расходами; проверить значимость найденного коэффициента корреляции. Найти коэффициент детерминации.

4. Найти точечный и интервальный прогноз среднемесячных потребительских расходов в 10-м субъекте РФ в будущем периоде предполагая, что среднемесячные денежные доходы в этом субъекте РФ увеличатся на 30%.

5. Привести содержательную интерпретацию полученных результатов.

Решение

Поле рассеяния характеризует зависимость потребительских расходов от денежных доходов. Очевидно, между ними существует прямая зависимость.

Визуальный анализ поля рассеяния позволяет выдвинуть гипотезу о линейной зависимости потребительских расходов от денежных доходов и записать эту зависимость в виде линейной модели:

y = a₀ + a₁x + e

где y - результативный фактор (потребительские расходы)

a₀ a₁ - параметры модели (постоянные)

е - некоторая изменяющаяся величина, благодаря которой любое индивидуальное значение y может отклоняться от линии регрессии.

Оценим параметры регрессии. Для удобства вычисления оценок искомых коэффициентов модели составим таблицу.

№ субъекта РФ	x	y	x2	xy	y2	yi	yi-yi	(yi-yi)2
1	1,66	1,08	2,7556	1,7928	1,1664	1,135	-0,055	0,003019
2	1,75	0,82	3,0625	1,435	0,6724	1,194	-0,374	0,139652
3	1,59	1,04	2,5281	1,6536	1,0816	1,089	-0,049	0,002426
4	1,58	1,34	2,4964	2,1172	1,7956	1,083	0,257	0,066191
5	2,36	1,72	5,5696	4,0592	2,9584	1,592	0,128	0,016408
6	2,35	1,55	5,5225	3,6425	2,4025	1,585	-0,035	0,001252
7	1,44	0,89	2,0736	1,2816	0,7921	0,991	-0,101	0,010268
8	1,5	1,26	2,25	1,89	1,5876	1,031	0,230	0,05267
сумма	14,23	9,7	26,2583	17,8719	12,4566			0,291885

Следовательно,

x = x_i / 8 = 14,23 / 8 = 1,78 тыс. руб. – среднее значение среднедушевых доходов

y = y_i / 8 = 9.7 / 8 = 1,21 тыс. руб. – среднее значение среднедушевых потребительских расходов.

xy = 17.87 / 8 = 2.23

x² = 26,26 / 8 = 3.28

Тогда,

a₁ = 0,077 / 0,118 = 0,65

a₀ = y - a₁ *x = 0,051

Таким образом, искомое уравнение регрессии имеет вид:

y = 0,051 + 0,65*x

Выборочный коэффициент парной корреляции:

r_xy = 0,762

Для того, чтобы с большей уверенностью полагаться на значение коэффициента корреляции выясним значимо ли значение коэффициента корреляции.

Рассчитаем статистику:

П ри уровне значимости а = 0,1, t (0,95; 6) = 1,943

Так как |t| < t_табл, то коэффициент корреляции не существенно отличается от нуля и существует слабая связь между x и y.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

R² = (y’_i -y)² / (y_i -y)² = 1 – ((y_i – y’_i)² / (y_i -y)²)

(y_i – y’_i)² - это мера разброса, объясненная с помощью уравнения регрессии;

(y_i -y)² - это мера разброса не объясненная уравнением регрессии.

R² = 1-0.292/ 0,695=0.58

Уравнение регрессии достаточно точно отражает истинную зависимость между доходами и расходами.

4. Найдем точечный прогноз для 8-го субъекта.

x₀ = 1,3* 1,5 = 1,95 тыс. руб.

y’₀ = a + b*x₀ = 1,32 тыс. руб.

Интервальным прогнозом зависимой переменной y, соответствующим некоторому значению переменной x = x₀, называется доверительный интервал, границы которого находятся по формуле:

y_вн = y(x₀)  t_{1-/2, n-2} Sy

где y(x₀) - точечный прогноз

Пусть  = 0,1, тогда 1 -  = 0,9; t_{1-/2, n-2} = 1,943

S² = (y’_i -y_i)² / (n-2)=0,067;

(x₁ –x)² = x_i² – n * (x )² =0,95

Тогда

Следовательно, y’_в,н = y’(x₀)  t_{1-/2, n-2} * Sy_i = 1.32  0,052

y’_в = 1,372 y’_н = 1,268

Это означает, что при увеличении среднедушевых денежных доходов в на 30%, размер среднедушевых среднемесячных потребительских расходов с вероятностью 0,9 будет колебаться в пределах от 1,268 тыс. руб. до 1,372 тыс. руб.

Следовательно, y₀  (1,268; 1,372) с 90% вероятностью.

Рассмотрим найденное уравнение регрессии y = 0,051+ 0,653*x. Оно было найдено по методу наименьших квадратов. Прямая регрессии, изображенная на рисунке поля рассеяния наилучшим образом приближается к заданным точкам, т.к. сумма квадратов отклонений фактических значений y от расчетных минимально.

Коэффициент а₀ = 0,051 не имеет экономического смысла, поскольку формально соответствует размеру потребительских расходов при нулевом уровне денежных доходов. Коэффициент а₁ = 0,653 определяет прирост потребительских расходов, обусловленный приростом денежных доходов, т.е. прирост денежных доходов, например, на 100 руб. вызовет прирост потребительских расходов на 65,3 руб.

Выпишем итоговые результаты.

y = а0 + а1 * x + е	- математическая модель зависимости потребительских расходов от денежных доходов
y’ = 0,051+ 0,653 * x	- уравнение регрессии, количественно выражающее зависимость расходов от доходов
rxy = 0.762	- коэффициент корреляции между x и y, его значение свидетельствует о наличии тесной линейной зависимости между доходами и расходами
R2 = 0,58	- коэффициент детерминации, его значение показывает, что уравнение регрессии отражает имеющуюся зависимость между расходами и доходами
y’0 = 1,32	- точечный прогноз. Так как вероятность совпадения фактических потребительских расходов (вероятность попадания в любую точку) равна нулю, то были составлены интервальные прогнозы
y’н = 1,268; y’в = 1.372	- интервальный прогноз с 90%-ой доверительной вероятностью

27