Задача 4

Фирма при производстве продукции использует два вида ресурсов: рабочую силу (L, тыс. чел.-час) и оборудование (K, тыс. ст. час.). Производственная функция (ПФ) фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

,

где Y –объем выпуска продукции (ед.)

Требуется:

1. Построить графики ПФ при фиксированном значении одной из переменных: а) K=324 ) L=54

2. Найти уравнение изоквант ПФ и построить их графики для Y1=211, Y2=316, Y3=422.

3. Известны объем выпуска продукции Y=316 и наличные трудовые ресурсы L=54 в базовом периоде. Определить потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10%, если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

4. Рабочая сила нанимается по контракту с почасовой оплатой труда 240 (ден.ед./тыс.чел.-час), оборудование берется в аренду с суммарными затратами 60 (ден.ед./тыс.ст.час). Объем капитала, который фирма может затратить на рабочую силу и оборудование, составляет 36000 (ден.ед.). Построить математическую модель задачи оптимизации выпуска продукции, считая, что производственная функция задана на множестве K>=0, L>=0, и найти графическим методом её решение. Определить предельную норму технологического замещения оборудования рабочей силой и предельную эффективность финансовых ресурсов в точке оптимума.

Решение

Производственная функция (ПФ) – функция, описывающая зависимость максимального объема производимого продукта от затрат ресурсов (факторов), используемых в производственном процессе. В данной задаче в качестве ресурсов выступает рабочая сила (L, тыс. чел.- час) и оборудование (К, тыс. ст.- час.). Производственная функция фирмы, построенная путем обработки статистических данных, имеет вид:

Где Y – объем выпуска продукции.

Построим графики производственной функции при фиксированном значении одной из переменных.

А) К=324

Тогда ПФ – степенная функция следующего вида:

Пусть L в промежутке от 55 до 64

Б) L=54

Пусть K в промежутке от 2 до 11

Отметим, что заданная ПФ удовлетворяет основным свойствам производственных функций:

• при отсутствии хотя бы одного ресурса объем выпуска продукции равен нулю, то есть Y(0,0)=Y(K,0)=Y(0,L);

• с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска Y растет;

• с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу увеличивающегося ресурса убывает, т.е. имеет место закон убывающей эффективности ресурсов.

2) Изокванта – совокупность всех комбинаций факторов производства (К,L), обеспечивающих одинаковый объем выпускаемой продукции. Изокванты дают графическое представление двухфакторной производственной функции Y(K,L) в виде её линий уровня.

Вычислим необходимые значения ПФ:

; ;

Для построения на декартовой плоскости ОКL изоквант целесообразно из их уравнений в явном виде выразить переменную L как функцию от переменной K:

Итак, уравнения, трех изоквант запишем в следующем виде:

3) Известны объем выпуска продукции Y=316 и наличные трудовые ресурсы L=54 в базовом периоде. Определим потребность в оборудовании в плановом периоде при увеличении объема выпуска продукции на 10% , если возможность увеличения трудовых ресурсов составляет не более 5%.

При заданном увеличении объем выпуска продукции составит

Y=1.1*Yбаз=1,1*316= 347,6

Существует множество комбинаций факторов производства (K,L), обеспечивающих выпуск продукции в объеме 347,6. Потребность в оборудовании в плановом периоде можно выразить как функцию от объема трудовых ресурсов. Используя уравнение изокванты

имеем:

Таким образом, если объем трудовых ресурсов, используемых в производстве, не изменится и останется на уровне L=9, то потребность в оборудовании в плановом периоде составит

(тыс. ст. – час.).

Если же объем трудовых ресурсов увеличится на 5% по отношению к базовому и составит

То потребность в оборудовании в плановом периоде составит

Итак, при объеме трудовых ресурсов потребность в оборудовании в плановом периоде составит некоторую величину , обеспечивающие выпуск продукции в объеме 316 ед.

4)Согласно условию фирма может приобрести на рынке используемые в производстве ресурсы по ценам и . Величина её затрат С на покупку L единиц рабочей силы и K единиц оборудования составит

Задача фирмы состоит в нахождении максимального объема выпуска продукции при условии, что уровень затрат на покупку ресурсов не превосходит 36000 ед. Математическая модель этой задачи может быть записана так:

Найти объемы ресурсов K и L, удовлетворяющие ограничениям

60K+240L≤36000

K≥0, L≥0

Её решение можно найти графическим методом:

K	0	600
L	150	0

Для нахождения значений координат точки D используем тот факт, что градиент целевой функции grad Y= , вычисленный в точке касания, перпендикулярен прямой АВ. Это означает, что вектор grad Y и вектор нормали ОС=(Pk;Pl) этой прямой пропорциональны, т.е. справедливо равенство

, отсюда имеем, что

Следовательно,

6L=K Подставляя полученное выражение K через L в уравнении граничной прямой АВ, получаем:

360* L +240L=36000 или L=60

Оптимальный объем оборудования равен K=360

А соответствующий объем выпуска

Отношение предельных производительностей оборудования и рабочей силы называется предельной нормой технологического замещения оборудования рабочей силой и обозначается MRTS. Эта, величина показывает, на сколько единиц нужно увеличить затраты рабочей силы, чтобы при уменьшении затрат оборудования на одну единицу объем выпуска продукции остался на прежнем уровне.

MRTS=240/60=4

Равенство можно записать иначе:

Величину этого отношения можно интерпретировать как предельную эффективность финансовых ресурсов .

Что означает следующее: при увеличении затрат на 1 ден.ед. объем выпускаемой продукции возрастает на 0.003 ед.