Задача 1

Для изготовления продукции двух видов А и B предприятие расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении предприятия, и выручки от реализации готовой продукции приведены в таблице.

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем ресурса
	Продукт А	Продукт В
Сырье (кг)	4	1	391
Оборудование (ст.час.)	1	3	232
Трудоресурсы (чел.час.)	8	1	407
Цена реализации (руб.)	407	232

Задача предприятия заключается в том, чтобы разработать программу выпуска, обеспечивающую получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.

2. Используя графический метод решения задачи линейного программирования, найти оптимальную программу выпуска продукции и максимум ожидаемой выручки.

3. Составив задачу, двойственную к задаче оптимизации выпуска продукции, найти её оптимальное решение, используя условия “дополняющей нежесткости”. Дать экономическую интерпретацию этого решения.

Решение

1. Пусть х₁ – количество выпускаемого продукта А;

х₂ – количество выпускаемого продукта В.

Искомая производственная программа X = (x₁; x₂) выпуска изделий А и В должна удовлетворять всем ресурсным ограничениям. Запишем их в математической форме.

4 х₁ + 1х₂ < 391

1x₁ + 3x₂ < 232

8x₁ + 1x₂ < 407

x₁ > 0, x₂ > 0

Пусть z – выручка от продажи продуктов А и В. Задача состоит в таком выпуске продукции X = (x₁; x₂), который обеспечивает максимальную выручку, т.е. z = 407 x₁ + 232 x₂  max

2. Построим область допустимых решений (ОДР). Запишем уравнения граничных прямых для каждого из неравенств и по две точки на этих прямых.

4х₁ + 1х₂ = 391 (1) 1x₁ + 3x₂ = 232 (2) 8x₁ + 1x₂ = 407 (3)

x1	0	97,75		x1	0	232		x1	0	50,875
x2	391	0		x2	77,33	0		x2	407	0

При подстановке точки (0; 0) в левую часть неравенств они будут выполняться. Следовательно, искомые полуплоскости будут располагаться слева (ниже) граничных прямых. Получим ОДР в результате пересечения всех полуплоскостей в первом квадранте.

Находим градиент функции:

grad r = (dz/dx₁; dz/dx₂) = (407; 232)

Двигая линии уровня 407х₁ + 232х₂ = h вдоль вектора нормали, находим точку касания линии уровня и ОДР. Это и есть точка максимума функции z. В нашей задаче точка максимума X* лежит на пересечении граничных прямых (2) и (3). Находим ее координаты из системы:

1 х₁ + 3х₂ = 232

8x₁ + 1x₂ = 407

x ₁ = 43

x₂ = 63

Оптимальная производственная программа X* = (43; 63) состоит в выпуске 43 изделий А и 63 изделий В. Ожидаемая выручка от их продажи:

z* = 407 * 43 + 232 * 63 = 32117 руб.

3. Исходная задача:

u₁  4х₁ + 1х₂ < 391

u₂  1x₁ + 3x₂ < 232

u₃  8x₁ + 1x₂ < 407

x₁ > 0, x₂ > 0

z = 407 x₁ + 232 x₂  max

Двойственная задача:

4u₁ + 1u₂ + 8u₃  407

1u₁ + 3u₂ + 1u₃  232

u₁  0, u₂  0, u₃  0

w = 391u₁ + 232u₂ + 407u₃  min

Для того, чтобы допустимое решение X исходной задачи и допустимое решение U двойственной задачи были оптимальными, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия.

x_j * v_j = 0

u_j * y_j = 0

где v_j = a_iju_i – c_j, y_j = b_i - a_ij*x_j

Подставив найденные компоненты вектора X* = (43; 63) в условия получаем:

x₁ * v₁ = 0; x₁ = 43  v₁ = 0 4u₁ + 1u₂ + 8u₃ = 407

x₂ * v₂ = 0; x₂ = 63  v₂ = 0 1u₁ + 3u₂ + 1u₃ = 232

u₁ * y₁ = 0; y₁ = 391 – 4*43 – 1*63 = 156  u₁ = 0

u₂ * y₂ = 0; y₂ = 232 – 1*43 – 3*63 = 0  u₂  0

u₃ * y₃ = 0; y₃ = 407 – 8*43 – 1*63 =0  u₃  0

Получаем систему уравнений:

4 u₁ + 1u₂ + 8u₃ = 407 u₁* = 0

1u₁ + 3u₂ + 1u₃ = 232 u₂* = 63

u₁= 0 u₃* = 43

Значение целевой функции двойственной задачи на этом решении:

w* = 391*0 + 232*63 + 407*43 =32117 руб.

Получены следующие результаты расчета модели:

x* = (43; 63); u* = (0; 63; 43)

z* = w* = 32117 руб.

Переменная u_i характеризует абсолютный прирост оптимизируемого показателя z в случае увеличения объема i-го ресурса на одну единицу.

Переменная y_j показывает, сколько остается i-го ресурса после выполнения производственной программы X.

Переменная v_j интерпретируется как возможный убыток по полезности при выпуске j-го продукта.

Оценка u₁* = 0 руб/кг. показывает, что объем сырья является избыточным. Уменьшение (в пределах интервала устойчивости) или увеличение объемов сырья не повлияет на величину ожидаемой выручки.

Оценка u₂* = 63 руб/ ст.час показывает, что если оборудование увеличить на 1 ст.час, то при прочих равных условиях максимальная выручка увеличится на 63 руб., а если уменьшить на 1 ст.час, то снизится на 63 руб.

Оценка u3* = 43 руб/чел.час. показывает, что если объем используемого трудоресурса увеличить (уменьшить) на 1 чел.час, то максимальная выручка увеличится (уменьшится) на 43 руб.