Задача 3

Малое предприятие намерено организовать в следующем квартале выпуск новой продукции А и Б, пользующейся высоким спросом на рынке. Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием и может привлечь квалифицированных рабочих на условиях почасовой оплаты, но не имеет средств на оплату труда рабочих. Для этого оно может получить кредит в банке сроком на три месяца под 40% годовых с погашением кредита и процентов по нему в конце квартала.

Информация о нормах затрат сырья, оборудования и трудовых ресурсов, объемах сырья и оборудования, имеющихся в распоряжении предприятия, размер выручки от реализации продукции А и Б дана в таблице:

Наименование ресурсов	Норма затрат на		Объем
	Продукт А	Продукт Б	ресурса
Сырье (кг)	2	1	540
Оборудование (ст.час)	7	5	2100
Трудоресурсы (чел.час)	3	1	?
Цена реализации (руб)	1095	520

Целью организации выпуска новой продукции является получение максимальной суммарной прибыли, которая определяется как разность между суммарной выручкой, полученной от реализации произведенной за квартал продукции А и Б, и затратами, связанными с обеспечением кредита (возврат суммы кредита и начисленных процентов).

Требуется:

1. Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты зарплаты рабочим с произвольной почасовой ставкой t (руб/чел.-час) оплаты труда.

2. Определить оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если почасовая ставка t оплаты труда равна 10 руб/чел.-час.

3. Найти функцию спроса на трудовые ресурсы как функцию почасовой ставки t оплаты труда, построить график этой функции. Исследовать зависимость размеров максимальной прибыли и кредита, обеспечивающего ее получение, от почасовой ставки t оплаты труда в диапазоне от 10 до 60 руб/чел.-ч. Найти функции, выражающие эти зависимости, и построить их графики.

Решение:

1. Обозначим объем производства продукта А через , объем производства продукта Б через , потребность в трудовых ресурсах через S, размер кредита через V, выручку от реализации произведенной продукции через Z, прибыль предприятия через Р. Условия и ограничения задачи:

• ограничения по использованию сырья:

• ограничения по использованию оборудования:

• Потребность в трудовых ресурсах определяется необходимыми затратами труда для выпуска продукции в объемах и :

• Размер необходимого кредита:

• Выручка от реализации произведенной продукции:

• Сумма расходов по обслуживанию кредита:

• Прибыль предприятия:

Получили математическую модель оптимизации выпуска продукции:

При этом размер кредита определяется из соотношения:

где - оптимальная программа выпуска продукции.

2. Так как , то математическая модель будет иметь вид:

Решим графически:

В

grad P(10)

А

С

Точкой максимума целевой функции будет точка С с координатами (270,0).

Максимальная прибыль:

руб.

Необходимый размер кредита:

руб.

Сумма уплаченных процентов:

руб.

Потребность в трудовых ресурсах:

чел. час.

3. Найдем функцию спроса при . Так как , то при росте t нормаль к линиям уровня будет поворачиваться против часовой стрелки, т.к. первая компонента вектора становится нулевой раньше при росте t:

А

grad P(60)

grad P(10)

В

С

Точка С остается точкой максимума до тех пор, пока линии уровня функции Р(t) не станут параллельными прямой , т.е. пока коэффициенты этих прямых не станут пропорциональными:

руб/чел.час

Таким образом, если , то точкой максимума является точка . При оптимальной будет любая точка отрезка ВС, в том числе и точка В. При дальнейшем росте параметра t единственной точкой максимума будет точка В, найдем ее координаты:

Таким образом, из проведенного графического анализа следует, что при оптимальным решением будет точка С, а при - точка В. При решение определено неоднозначно: им будет любая точка отрезка ВС.

Теперь можем построить функцию спроса на трудовые ресурсы.

• при спрос на трудовые ресурсы будет равен:

• при спрос на трудовые ресурсы будет равен величине спроса в точке :

• при спрос на трудовые ресурсы определен неоднозначно. В зависимости от того, какое оптимальное решение из отрезка ВС будет выбрано, он может принять любое значение из отрезка , то есть

Зная спрос на трудовые ресурсы, можно определить величину необходимого кредита как функцию от ставки труда t, используя формулу

• при размер кредита будет равен:

• при размер кредита:

• при размер кредита определен неоднозначно. Так как спрос на трудовые ресурсы может принять любое значение из отрезка , то размер кредита может быть любым числом из отрезка

Найдем зависимость величины прибыли :

• при оптимальное решение – точка , величина прибыли равна

• при оптимальное решение – точка , величина прибыли равна

• при оптимальное решение задачи – любая точка отрезка ВС, величина прибыли в каждой точке этого отрезка принимает значение :