Доказательство

Теорема в общем виде доказывается по индукции. Проверим ее выполнимость только для

то есть

Но последняя формула - формула Лагранжа для . Для последующих теорема доказывается по индукции. Эта формула может быть применима для оценки погрешности при интерполяции, когда функция задана только таблично. Если мало, то можно приближенно принять за и, таким образом, оценить погрешность .

В реальных вычислениях таблица конечных разностей строится по значениям , каждое из которых содержит погрешность Тогда в силу формулы (2.5.1) вычисленные значения содержат неустранимые ошибки

(2.5.3)

Пусть для всех , тогда можно получить гарантированную оценку

(2.5.4)

2.6. Разделенные разности и их свойства

Пусть функция задана на таблице значений аргумента с произвольным шагом, причем точки таблицы занумерованы также в произвольном порядке.

Величины называются разделенными разностями первого порядка функции в узлах Аналогично определяются разделенные разности более высокого порядка: - разделенная разность второго порядка в узлах Разделенной разностью -го порядка называется число

(2.6.1)

Эти разности также можно записывать в виде треугольной таблицы:

Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств, изложенных в следующих теоремах.

Теорема 2.5. Разделенная разность является симметричной функцией своих аргументов (то есть ее свойства не меняются при любой их перестановке).

Теорема 2.6. Разделенная разность -го порядка выражается через значения функции следующим образом

(2.6.2)

Легко заметить, что под знаком суммы стоят коэффициенты обобщенного многочлена , которые мы получали при выводе формулы Лагранжа (2.3.3). Теорема 2.6 доказывается методом математической индукции; проверим ее лишь для

.

Теорема 2.7. Пусть функция имеет на отрезке , содержащем точки , производную порядка . Тогда справедливо равенство

(2.6.3)

Теорема 2.8. В случае когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг , конечная и разделенная разность связаны соотношением

(2.6.4)

Для доказательство теоремы очевидно.