
- •И. Н. Двойцова вычислительная математика
- •Введение
- •1. Элементарная теория погрешностей; вычислительные задачи, методы и алгоритмы
- •1.1. Источники и классификация погрешностей результата численного эксперимента
- •1.2. Погрешности чисел
- •1.3. Погрешности арифметических операций
- •1.4. Погрешности функций
- •1.5. Особенности машинной арифметики
- •1.6. Лабораторная работа № 1. Определение абсолютной и относительной погрешностей приближенных чисел. Оценка погрешностей результата
- •1.7. Корректность вычислительной задачи
- •1.8. Обусловленность вычислительной задачи
- •1.9. Вычислительные методы, их классификация
- •2. Приближение функций
- •2.1. Задача приближения функций
- •2.2. Интерполяция обобщенными многочленами
- •2.3. Полиномиальная интерполяция. Многочлен Лагранжа
- •2.4. Погрешность интерполяции
- •2.5. Конечные разности и их свойства
- •Доказательство
- •2.6. Разделенные разности и их свойства
- •2.7. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •2.8. Вычислительная схема Эйткена
- •2.9. Лабораторная работа № 2. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Лагранжа
- •2.10. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными разностями
- •2.11. Лабораторная работа № 3. Интерполирование и экстраполирование данных. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3. Метод наименьших квадратов и специальные интерполяционные многочлены
- •3.1. Постановка задачи и вывод формул метода наименьших квадратов
- •3.2. Лабораторная работа № 4. Аппроксимация функции по методу наименьших квадратов
- •3.3. Глобальная полиномиальная интерполяция
- •3.4. Чувствительность интерполяционного многочлена к погрешностям входных данных
- •4. Численное дифференцирование и численное интегрирование
- •4.1. Простейшие формулы численного дифференцирования для первой производной
- •4.2. Формулы численного дифференцирования для второй производной
- •4.3. Формулы численного дифференцирования, основанные на интерполяции алгебраическими многочленами
- •4.4. Обусловленность формул численного дифференцирования
- •4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования
- •4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул
- •4.7. Квадратурные формулы интерполяционного типа
- •4.8. Квадратурные формулы Гаусса
- •4.9. Лабораторная работа № 8. Численное дифференцирование и численное интегрирование функций
- •Ирина Николаевна Двойцова Вычислительная математика
- •660049, Красноярск, пр. Мира , 82
Доказательство
Теорема
в общем виде доказывается по индукции.
Проверим ее выполнимость только для
то есть
Но
последняя формула - формула Лагранжа
для
.
Для последующих
теорема доказывается по индукции. Эта
формула может быть применима для оценки
погрешности при интерполяции, когда
функция задана только таблично. Если
мало, то
можно приближенно принять за
и, таким образом, оценить погрешность
.
В
реальных вычислениях таблица конечных
разностей
строится по значениям
,
каждое из которых содержит погрешность
Тогда в силу формулы (2.5.1) вычисленные
значения
содержат неустранимые ошибки
(2.5.3)
Пусть
для всех
,
тогда можно получить гарантированную
оценку
(2.5.4)
2.6. Разделенные разности и их свойства
Пусть
функция
задана на таблице
значений аргумента с произвольным
шагом, причем точки таблицы занумерованы
также в произвольном порядке.
Величины
называются разделенными разностями
первого порядка функции
в узлах
Аналогично
определяются разделенные разности
более высокого порядка:
- разделенная разность второго порядка
в узлах
Разделенной разностью
-го
порядка называется число
(2.6.1)
Эти разности также можно записывать в виде треугольной таблицы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделенные разности обладают рядом замечательных свойств, изложенных в следующих теоремах.
Теорема
2.5. Разделенная разность
является симметричной функцией своих
аргументов
(то есть ее свойства не меняются при
любой их перестановке).
Теорема 2.6. Разделенная разность -го порядка выражается через значения функции следующим образом
(2.6.2)
Легко
заметить, что под знаком суммы стоят
коэффициенты
обобщенного многочлена
,
которые мы получали при выводе формулы
Лагранжа (2.3.3). Теорема 2.6 доказывается
методом математической индукции;
проверим ее лишь для
.
Теорема
2.7. Пусть функция
имеет на отрезке
,
содержащем точки
,
производную порядка
.
Тогда справедливо равенство
(2.6.3)
Теорема 2.8. В случае когда таблица значений аргумента имеет постоянный шаг , конечная и разделенная разность связаны соотношением
(2.6.4)
Для
доказательство теоремы очевидно.