2.4. Погрешность интерполяции

Теорема 2.2. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке , содержащем узлы интерполяции Тогда для погрешности интерполяции в точке справедливо равенство в котором

Последнюю формулу несколько модернизируют. Так как положение точки неизвестно, то заменяют на Тогда

Пример. Вычислим значение в предыдущем примере и оценим точность полученного значения:

П редставление о типичном характере функции дает график слева. При выходе за пределы значений аргумента быстро стремится к плюс бесконечности. Несколько огрубляя оценку погрешности, можно получить , где . В нашем случае и . Сколь-нибудь достоверную оценку здесь получить невозможно. Если предположить то

2.5. Конечные разности и их свойства

Пусть функция задана таблично - шаг таблицы, - узлы таблицы.

Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке с шагом .

Конечная разность порядка функции в точке есть Таким образом, конечная разность второго порядка есть Аналогичным образом могут быть определены конечные разности произвольного порядка.

Конечные разности чаще всего располагают в виде таблицы следующим образом:

					...
...	...

Теорема 2.3. -я конечная разность выражается через значения функции в точке по формуле , где . (2.5.1)

В частности уже получена аналогично получаются формулы

Коэффициенты, входящие в эти формулы, можно взять из треугольника Паскаля^.

Теорема 2.4. Пусть функция дифференцируема раз на отрезке . Тогда справедливо равенство (2.5.2)