1.7. Корректность вычислительной задачи

Анализ важнейших требований, предъявляемых к различным прикладным задачам, приводит к понятию корректности математической задачи.

Вычислительная задача называется корректной, если выполняются следующие три требования: а) решение этой задачи существует при любых , б) это решение единственно, в) решение устойчиво по отношению к малым возмущениям входных данных. Если не выполнено хотя бы одно из условий, задача называется некорректной.

Существование решения - естественное требование. Отсутствие решения свидетельствует либо о непригодности принятой математической модели, либо о неправильной постановке самой математической модели.

Неединственность - неприятное свойство вычислительной задачи. Ее причиной, помимо уже перечисленных условий, может быть естественное свойство решаемой задачи. Неединственность может быть ликвидирована введением некоторых дополнительных ограничений на решение. Иногда за решение задачи принимается множество решений.

Решение называется устойчивым по входным данным , если зависит от непрерывным образом. Строго формальное определение устойчивости решения похоже на определения предела функции: если для любого найдется такое , что для любого , удовлетворяющего условию , найдется соответствующее , такое, что , решение будет устойчиво. Иными словами, для устойчивости вычислительной задачи ее решение теоретически можно найти со сколь угодно высокой точностью , если обеспечена высокая точность исходных данных. Неустойчивость решения означает, что что какое бы малое ни было задано, найдутся такие данные , что .

1.8. Обусловленность вычислительной задачи

Под обусловленностью вычислительной задачи понимают ее чувствительность к малым погрешностям входных данных. Задачу называют хорошо обусловленной, если малым погрешностям входных данных отвечают малые погрешности решения, и плохо обусловленной, если возможны сильные изменения решения. Для измерения количественной стороны обусловленности используют число обусловленности. Грубо говоря, это коэффициент возможного возрастания погрешностей в решении по отношению к вызвавшим их погрешностям входных данных, то есть , где - абсолютное число обусловленности. Если , то - относительное число обусловленности. Для плохо обусловленной задачи

П ример. Вычисление значений функции одного переменного. При этом в силу формул . Вычислим . В этом случае , что говорит о хорошей абсолютной обусловленности этой задачи при всех . Однако если важен результат с определенным числом верных знаков, то нужно использовать относительную обусловленность. Тогда . График функции приведен слева. Так как при , то при задача обладает плохой относительной обусловленностью, хотя мала абсолютная погрешность значения . Если же значение очень велико, то Например, для ЭВМ РС при и при одна только абсолютная ошибка

1.9. Вычислительные методы, их классификация

Методы, которые используются в вычислительной математике для преобразования задач к виду, удобному для реализации на ЭВМ, и позволяют конструировать вычислительные алгоритмы, называются вычислительными.

Они разделяются на следующие классы:

1) методы эквивалентных преобразований;

2) методы аппроксимации;

3) прямые (точные) методы;

4) итерационные методы;

5) методы статистических испытаний (Монте-Карло).

Поясним классификацию подробнее.

Методы эквивалентных преобразований позволяют заменить исходную задачу другой, имеющей то же решение. Это целесообразно, если новая задача проще исходной или обладает лучшими свойствами, или для нее, например, существует уже готовый метод и программа, а для исходной задачи их надо создавать заново.

Пример. Задача отыскания корней уравнения может быть сведена к эквивалентной задаче поиска точки глобального минимума функции

Методы аппроксимации приближают исходную задачу другой, решение которой в оговоренном смысле близко к решению исходной задачи. Погрешности, возникающие при такой замене, называются погрешностями аппроксимации. Как правило, аппроксимирующая задача содержит параметры, позволяющие регулировать величину погрешности аппроксимации.

Пример. Формула прямоугольников вычисления определенного интеграла:

, где - параметр, регулирующий точность.

Прямые методы позволяют получить решение исходной задачи после выполнения конечного числа элементарных операций.

Пример. , метод вычисления корней Здесь элементарными считаются четыре арифметические операции и операция извлечения квадратного корня. Элементарной операцией метода может быть объявлена любая другая операция, необходимо, конечно, чтобы ее выполнение было существенно проще решения всей задачи.

Итерационные методы - специальные методы, приспособленные для построения последовательных приближений к точному решению задачи. Для получения каждого из последующих приближений выполняют однотипный набор действий с использованием ранее найденных приближений - итераций («iteratio»- повторение). Неограниченное продолжение этого процесса позволяет построить бесконечную последовательность приближений к решению - итерационную последовательность. Если она сходится к решению, то говорят, что итерационный метод сходится.

Множество начальных приближений, для которых метод сходится, называется областью сходимости метода. Практическая реализация итерационных методов всегда связана с необходимостью выбора критерия окончания итерационного процесса.

Пример. Вычислим . Пусть Воспользуемся формулой , получим итерационную последовательность . Известно, что метод сходится при любом начальном приближении

Метод статистических испытаний основан на моделировании различных случайных величин и построении оценок. Этот метод применяют для решения не только тех задач, в которых в явном виде имеются случайные события, но также и для решения многих задач, не содержащих таких событий. В этом случае искусственно подбирают такое случайное явление, характеристики которого связаны с результатом решения исходной задачи. Для определения числовых значений этих характеристик и используется метод статистических испытаний.

Его главная идея основана на законе больших чисел, сам метод использует аппарат математической статистики.

С его помощью вычисляются, например, функции плотностей вероятностей различных законов, многомерные интегралы и тому подобные вопросы.