4.6. Оценка погрешностей простейших квадратурных формул
Теорема 4.1. Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема на . Тогда для формул (4.5.3) и (4.5.4) справедливы следующие оценки погрешности:
(4.6.1)
(4.6.2)
Доказательство
Получим, например, формулу (4.6.1). По определению погрешности
С другой стороны, по формуле Тейлора
Тогда
Но
следовательно,
Аналогично выводится и формула (4.6.2).
Теорема 4.2. Пусть функция имеет на непрерывную четвертую производную. Тогда для формулы (4.5.6) справедлива следующая оценка:
(4.6.3)
Пример.
Вычислить интеграл
по формулам прямоугольников, трапеций
и парабол и оценить погрешность
вычислений.
-
числитель
знаменат.
0
0.50
1.100
0.453596
1.050
3.167423
0.143207
1/2
0.55
1.121
0.434782
1.125
3.202268
0.135773
1
0.60
1.144
0.413957
1.200
3.232039
0.128079
3/2
0.65
1.169
0.391072
1.275
3.256570
0.120088
2
0.70
1.196
0.366083
1.350
3.275723
0.111756
5/2
0.75
1.225
0.338946
1.425
3.289391
0.103042
3
0.80
1.256
0.309623
1.500
3.297495
0.093896
7/2
0.85
1.272
0.294370
1.575
3.299991
0.089203
4
0.90
1.324
0.244299
1.650
3.296865
0.074100
9/2
0.95
1.361
0.208261
1.725
3.288134
0.063337
5
1.00
1.400
0.169967
1.800
3.273848
0.051917
0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Оценим теперь погрешность вычислений только по теореме 4.1:
Вторая производная уже получается
настолько громоздкой, что оценка
погрешности становится затруднительной.
Тем не менее можно провести грубую
оценку сверху
Итак,
Так оно и есть, поскольку значения интеграла, полученные по формулам прямоугольников и трапеций, отличаются в четвертом знаке после запятой.