4.5. Простейшие квадратурные методы численного интегрирования
В прикладных исследованиях, когда
возникает необходимость вычисления
и первообразной не существует, приходиться
интеграл считать численно. Наиболее
широко на практике используются
квадратурные формулы - приближенные
равенства вида
(4.5.1)
где
- некоторые точки из отрезка
- узлы квадратурной формулы (4.5.1),
- числовые коэффициенты, называемые
весами квадратурной формулы,
- целое число. Сумма
,
которая принимается за приближенное
значение интеграла, называется
квадратурной суммой.
Величина
называется погрешностью или остаточным
членом квадратурной формулы. Выведем
простейшие квадратурные формулы, исходя
из геометрической интерпретации
определенного интеграла:
...
Будем интерпретировать интеграл
как площадь криволинейной трапеции,
ограниченной графиком функции
,
осью абсцисс и прямыми
Разобьем отрезок
на элементарные отрезки
точками
Интеграл
представится таким образом:
(4.5.2)
Введем обозначения:
Формула
центральных прямоугольников. Заменим
приближенно площадь элементарной
криволинейной трапеции площадью
прямоугольника, основанием которого
является отрезок
,
а высота равна значению
.
Тогда сразу получается элементарная
квадратурная формула прямоугольников
Суммируя
по всему отрезку
,
получим
(4.5.3)
Совершенно аналогично можно получить
формулы
и
,
которые называются квадратурными
формулами левых и правых прямоугольников.
Их точность
,
тогда как точность формулы (4.5.3)
.
Ф
ормула
трапеций. Соединив точки
,
получим формулу трапеций. Заменим
площадь элементарной криволинейной
трапеции площадью построенной фигуры.
Тогда
,
а итоговая формула примет вид
(4.5.4)
Ф
ормула
парабол (Симпсона).
Если площадь элементарной криволинейной
трапеции заменить площадью фигуры,
расположенной под параболой, проходящей
через точки
,
то получим приближенное равенство
- интерполяционный многочлен второй
степени с узлами
Для этих точек справедлива формула
. (4.5.5)
Действительно, легко проверить, что
,
,
.
Кроме того, формула (4.5.5) относительно
представляет уравнение второй степени.
Подставим теперь точки
,
,
в уравнение (4.5.5). Получим
Таким
образом, точки
,
,
параболы
удовлетворяют уравнению (4.5.5).
Проинтегрируем полученную формулу по
отрезку
.
Тогда
.
Применяя полученную формулу на каждом элементарном отрезке, получим квадратурную формулу парабол (Симпсона)
(4.5.6)